Handelt es sich bei (A => B) V (A Λ ¬ B) um eine Tautologie? Begründe mit Regeln der Aussagenlogik.

Question

Aufgabe:

Handelt es sich bei (A => B) V (A Λ ¬ B) um eine Tautologie? Begründe mit Regeln der Aussagenlogik.

Problem/Ansatz: Ich bin so vorgegangen:

(A => B) V (A Λ ¬ B)  ≡ ( ¬A V B) V (A Λ ¬ B)

                                   ≡  (¬A V A) V (B Λ ¬ B).

Ist diese Umformung vorerst so richtig? Wenn ja, dann wäre ja (¬A V A) wahr, aber (B Λ ¬ B) falsch. Aber was wäre dann die gesamte Aussage? Wäre es eine Tautologie? Bei einer Tautologie müsste ja alles wahr sein. Aber hier ist ja die linke Aussage wahr, und die rechte falsch. Aber da es ein oder trennt, ist es ja entweder wahr oder falsch. Also im gesamten wahr und somit eine Tautologie, oder?

Liebe Grüße

Answer 1

Ist diese Umformung vorerst so richtig?

Ja, weil sowohl (A => B) V (A Λ ¬ B), als auch ( ¬A V B) V (A Λ ¬ B) und (¬A V A) V (B Λ ¬ B) Tautologien sind.

Du hast bei der Umformung von der zweiten zur dritten Aussage aber keine mir bekannte Umformungsregel angewendet.

Wenn ja, dann wäre ja (¬A V A) wahr, aber (B Λ ¬ B) falsch.

Auch wenn die Umformung nicht richtig ist, ist (¬A V A) wahr und (B Λ ¬ B) falsch.

Also im gesamten wahr und somit eine Tautologie, oder?

Wenn deine Umformung richtig wäre, dann wäre deine Schlussfolgerung korrekt.

Comments

Alles klar, vielen Dank. Wie wäre denn die Umformung richtig, bzw. wie hättest du es gemacht? Liebe Grüße

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Wende Distributivgesetz, Assoziativgesetz und Komplementärgesetz an.

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Darf ich nach dem ersten Schritt, also nach:

(A => B) V (A Λ ¬ B)  ≡ ( ¬A V B) V (A Λ ¬ B)

die Negation rausziehen, sodass ich

≡ ¬( A Λ ¬B) V (A Λ ¬ B) bekäme? Und beide Aussagen wären dann wahr und das gesamte dann auch?

Liebe Grüße

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die Negation rausziehen, sodass ich ≡ ¬( A Λ ¬B) V (A Λ ¬ B) bekäme?

Das darfst du.. Ich würde es aber nicht "Negation rausziehen" nennen, sondern "De-morgansche Gesetze anwenden".

Und beide Aussagen wären dann wahr

Welche beiden Aussagen meinst du?

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≡ ¬( A Λ ¬B) V (A Λ ¬ B) 

Dann wäre ja zum einen ¬( A Λ ¬B) wahr, weil es möglich wäre, oder eben das Gegenteil, nämlich (A Λ ¬ B)   könnte auch wahr sein. Also wäre es insgesamt wahr, und es wäre eine Tautologie. So wäre die Aufgabe doch dann vollständig gelöst, oder?

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Dann wäre ja zum einen ¬( A Λ ¬B) wahr

Wie kommst du darauf, dass ¬( A Λ ¬B) wahr ist?

Entscheidend ist, dass du auf

        ¬( A Λ ¬B) ∨ (A Λ ¬ B)

das Komplementärgesetz anwenden kannst.

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Naja, einmal gibt es eben die Negation von (A Λ ¬ B)  oder eben ohne Negation. Eins von beiden kann ja wahr sein. Stimmt...beides gleichzeitig kann ja nicht wahr sein, oder? Also entweder oder.

¬( A Λ ¬B) ∨ (A Λ ¬ B) wäre dann also

        ¬A      ∨      A   und somit wahr, also handelt es sich um eine Tautologie. Das wäre dann die richtige Schlussfolgerung, right?