Spielt die materiale Implikation in der Mathematik überhaupt eine Rolle?

Question

Ich habe diese Frage schon in einem anderen Mathematik-Forum gestellt und keine zufriedenstellende Antwort bekommen, weshalb ich es nun hier versuche! ^^

————————————————————————————————————————

Ich habe eine Frage zur Rolle der materialen Implikation in der Mathematik. Damit meine ich die Aussage „A ⇒ B“, mit den folgenden Wahrheitswerten:

Wenn A wahr und B wahr, dann ist A ⇒ B wahr. (*)
Wenn A wahr und B falsch, dann ist A ⇒ B falsch. (**)
Wenn A falsch und B wahr, dann ist A ⇒ B wahr. (***)
Wenn A falsch und B falsch, dann ist A ⇒ B wahr. (****)

Ich bin, beim Verfassen eines Skriptes für einen Nachhilfeschüler, auf ein paar Probleme gestoßen, über die ich, als Student, nie so richtig nachgedacht habe:

(1) Der Folgepfeil ⇒ hat, wenn er in Beweisen oder beim Umformen von Gleichungen vorkommt, eine größere Bedeutung als die materiale Implikation. In diesen Kontexten bedeutet A ⇒B meinem Verständnis nach eher „Wenn A wahr ist, dann MUSS B notwendigerweise wahr sein.“
Sind die Folgepfeile in Beweisen also gar keine richtigen materialen Implikationen, sondern eher so etwas wie logische Folgerungen?

(2) Wofür benötigt man in der Mathematik die materiale Implikation? Würde man mit logischen Schlüssen nicht auskommen?

Es ist doch in der Mathematik nun einmal nicht üblich

„ Ist eine reelle Funktion differenzierbar, so ist sie stetig.“
⇒ „Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer Matrix A sind linear unabhängig.“

zu schreiben, obwohl beide Aussagen wahr und damit auch die (materiale) Implikation wahr ist. Wir benötigen, um das so zu schreiben, doch eine logische Verknüpfung zwischen beiden Aussagen, welche die materiale Implikation, dessen Wahrheitswert ausschließlich von den Wahrheitswerten der verknüpften Aussagen abhängt, nicht liefert. (Man kann eben hier nicht sagen, dass B notwendigerweise wahr ist, wenn A wahr ist, weil B keine logische Folgerung aus A ist.)

(3) Habe ich es richtig verstanden, dass man im Prinzip die Voraussetzungen (A) immer als wahr voraussetzt, um dann, mittels logischer Folgerungen (keinen Implikationen!, sie teilen sich nur zufällig das Symbol „⇒“) aus A neue (und notwendigerweise wahre!) Aussagen zu folgern. Man hat dann gewonnen, dass man sich sicher sein kann, dass auch die Implikationen wahr sind, da die neuen Aussagen (dadurch, dass sie logische Folgerungen aus A sind) wahr sind. Dies macht man so lange, bis man bei B ist. Dann ist B notwendigerweise wahr und damit ist auch „A ⇒ B“ wahr.

So entstehen letztlich Beweise von Aussagen wie „A ⇒ B“ und ist das der Nutzen der materialen Implikation oder bin ich da auf dem Holzweg?

Ich weiß, dass das keine einfache (und dazu eine sehr lange!) Frage ist, aber würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!

Comments

Wenn A wahr ist, dann MUSS B notwendigerweise wahr sein.

Eher

A ist hinreichend für B bzw. B ist notwendig für A.

Nicht andersherum.

---

Ja, sehe ich ein. Das „notwendigerweise“ muss ich streichen; es wäre ok, wenn ich geschrieben hätte: „Wenn A wahr ist, dann MUSS B wahr sein“, richtig?

Answer 1

Aloha :)

Der Folgerungspfeil \(A\implies B\) hat eine doppelte Bedeutung:

1) wenn \(A\) wahr ist, dann muss \(B\) wahr sein.

2) wenn \(A\) falsch ist, kann \(B\) wahr oder falsch sein.

Zu (2) ein Beispiel:$$\text{"Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen"}\implies\left\{\begin{array}{c}\text{"3 ist Primzahl"} & \checkmark\\\text{"9 ist Primzahl"} & \otimes\end{array}\right.$$

Anders ausgedrückt, aus etwas Wahrem kann man immer nur etwas Wahres folgern. Aus etwas Falschem, kann man aber sowohl etwas Wahres als auch etwas Falsches folgern.

Daher ist bei Folgerungsketten immer wichtig, dass die erste Aussage wahr ist oder zumindest (wie beim Beweis durch Widerspruch) also wahr angenommen wird. Durch die Annahme der Richtigkeit der Startaussage wird dein Widerspruch aufgelöst.

Answer 2

Hallo

ich finde, dass alles wesentliche darüber in wiki steht :

https://de.wikipedia.org/wiki/Implikation

für einen Nachhilfeschüler lies ich das logische Spielen mit materialen Implikationen weg, es stellt nur in der Logik ein verfahren dar, und wird beim beweisen etwa nicht benutzt,.

Gruß lul

Comments

Naja angefangen hat es mit dem Schreiben eines Skripts für einen Nachhilfeschüler; das oben beschriebene Problem möchte ich für mittlerweile für mich lösen!