Zeigen Sie, dass dann min(X, Y ) exponentiell verteilt ist mit Parameter α + β.

Question

Wahrscheinlichkeitstheorie: Funktion von Zufallsvektoren

Problem/Ansatz:

Ich brauche eine allgemeine Formel der Verteilungsfunktion über das Minimum über unabhängige Zufallsvariablen. Kann mir jemand damit helfen?

Die ganze Aufgabe lautet so: Seien X und Y unabhängig exponentiell verteilte Zufallsvariablen mit Parametern α > 0 und β > 0. Zeigen Sie, dass dann min(X, Y ) exponentiell verteilt ist mit Parameter α + β.

Meine Idee war: Zunächst 1− Verteilungsfunktion des Minimums zu betrachten

Answer 1

Hallo,

die Definition der Verteilungsfunktion für min(X,Y) ist:

$$F(z)=P(min(X,Y) \leq z)=P(X \leq z \text{ ODER } Y \leq z)$$

- Forme die rechte Seite um nach der Regel für \(P(A \cup B)\)

- Benutze die Unabhängigkeit, um dies durch die Verteilungsfunktionen von X und Y auszudrücken.

- Benutze die bekannten Verteilungsfunktionen und rechne aus.

Gruß Mathhilf