Berechne die Erwartungswerte E(X), E(X2), E(Y), E(X*Y)

Question

Aufgabe:

Es sei Ω= {-2, -1 , 1 , 2} und p:Ω -> [0,1] gegeben durch p(-2)=0,3 ; p(-1)=0,2 ; p(1)= 0,1 ; p(2)=0,4

X und Y seien gegeben durch X(i)= 2-2i

Y(i)=i² +4

Berechne die Erwartungswerte E(X), E(X²), E(Y), E(X*Y)

Problem/Ansatz:

Ich konnte bereits E(X)=1,8 ausrechnen, nur bei den anderen habe ich leider Schwierigkeiten. Wenn ich E(X²) berechne kommt 17,64 raus, nur in den Lösungen steht ein anderer Wert.

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen zunächst einige Erwartungswerte für die Elemente $i$ aus $\Omega$ ist:$$\left<i\right>=0,3\cdot(-2)+0,2\cdot(-1)+0,1\cdot1+0,4\cdot2=0,1=\frac{1}{10}$$$$\left<i^2\right>=0,3\cdot(-2)^2+0,2\cdot(-1)^2+0,1\cdot1^2+0,4\cdot2^2=3,1=\frac{31}{10}$$$$\left<i^3\right>=0,3\cdot(-2)^3+0,2\cdot(-1)^3+0,1\cdot1^3+0,4\cdot2^3=0,7=\frac{7}{10}$$

Da der Erwartungswert linear ist, haben wir nun:$$\left<X\right>=\left<2-2i\right>=\left<2\right>-2\left<i\right>=2-2\cdot\frac{1}{10}=\frac{18}{10}$$$$\left<X^2\right>=\left<(2-2i)^2\right>=\left<4-8i+4i^2\right>=\left<4\right>-8\left<i\right>+4\left<i^2\right>$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=4-8\cdot\frac{1}{10}+4\cdot\frac{31}{10}=\frac{78}{5}$$$$\left<Y\right>=\left<i^2+4\right>=\left<i^2\right>+\left<4\right>=\frac{31}{10}+4=\frac{71}{10}$$

$$\left<XY\right>=\left<(2-2i)(i^2+4)\right>=\left<-2i^3+2i^2-8i+8\right>$$$$\phantom{\left<XY\right>}=-2\left<i^3\right>+2\left<i^2\right>-8\left<i\right>+\left<8\right>$$$$\phantom{\left<XY\right>}=-2\cdot\frac{7}{10}+2\cdot\frac{31}{10}-8\cdot\frac{1}{10}+8=12$$

Comments

Danke dir!!

Ich müsste jetzt noch die Var(X) und die Cov(X,Y) berechnen, könntest du mir hier auch noch helfen?

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$$\operatorname{Var}(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=\frac{78}{5}-\left(\frac{18}{10}\right)^2=\frac{81}{25}=3,24$$$$\operatorname{Cov}(X;Y)=\left<XY\right>-\left<X\right>\left<Y\right>=12-\frac{18}{10}\cdot\frac{71}{10}=-\frac{39}{50}=-0,78$$