linearfaktoren Beweisen oder widerlegen

Question

Text erkannt:

$\left(2+3+2+3\right.$ Punkte) Es sei $K$ ein Körper und $f=X^{4}-2 X^{3}-X+2 \in K[X]$. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen und geben Sie gegebenenfalls die Zerlegung in Linearfaktoren an:
Das Polynom $f$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren, wobei
(a) $K=\mathbb{Q}$.
(b) $K=\mathbb{C}$.
(c) $K=\mathbb{F}_{2}$.
(d) $K=\mathbb{F}_{3}$.

wie zu beweisen Durch Nullstellen?

Comments

Du könntest doch schon mal alle komplexen Nullstellen berechnen.

Dazu "rät" man eine naheliegende ganzzahlige und spaltet den entsprechenden Linearfaktor ab .....

Gruß Mathhilf

Answer 1

hallo

F2 und F3 einfach mit einsetzen, Q die 2 einfachen Nst raten, sehen dass es nicht mehr gibt und die in C bestimmen.

Gruß lul

Comments

ich bekomme f=(x²+x+1)(x-2)(x-1) wie mache ich in F2 und F3

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hallo

du setzt erstmal 2=0 damit ist dein Polynom ja sehr einfach, und du wisst 1=-1 UND 1²=1⁴=1 EBENSO WIE 0²=0⁴=0

LUL

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ja, das ist für F2 und F3 ist -2=1 -1=2 richtig? warum braucht es 1⁴₌ 1² ₌ 1

und Für F2 ist (x²+x+1) x(x+1)? F3 ist (x²+x+1) (x+1) (x+2)?

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F2: x⁴-x=x*(x³-1) weitere Zerlegungen sind sinnlos. x⁴-x=0 gilt für jedes x aus F2  dagegen x²+x-1≠0 für alle x

Gruß lul

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ok Also (x²+x+1) ändert es nicht in F2 und F3 denn es ≠0 für alle x sind

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verstehe ich jetzt nicht. x²+x+1=0 für x=1 in F3

lul