Aloha :)
Wir formen zunächst die gegebene Gleichung etwas um:$$0,8=P(|X-200|<10)=P(-10<X-200<10)=P(190<X<210)$$$$\phantom{0,8}=P(X<210)-P(X<190)$$
Nun lassen wir die bekannte Normalverteilung der Zufallsvariable \(X\) einfließen. Ihr Erwartungswert ist \(\mu=200\) und die Standardabweichung \(\sigma\) ist noch unbekannt. Wir tun so als würden wir \(\sigma\) kennen und normalisieren \(X\) mittels der \(z\)-Transformation$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$zu einer Standard-normalverteilten Zufallsvariablen \(Z\):
$$0,8=\phi\left(\frac{210-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{190-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\phi\left(-\frac{10}{\sigma}\right)$$
Wir nutzen die Symmetrie \(\phi(z)+\phi(-z)=1\) der Standard-Normalverteilung und finden:
$$0,8=\phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\left(\;1-\phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)\;\right)=2\phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1\quad\implies\quad\phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=0,9$$
Wir wenden die Umkehrung \(\phi^{-1}\) der Standard-Normalverteilung an, schlagen den Wert \(\phi^{-1}(0,9)\approx1,281552\) nach und finden:
$$\frac{10}\sigma=\phi^{-1}(0,9)\approx1,281552\quad\implies\quad\sigma=\frac{10}{1,281552}\approx7,8030$$
