Angenäherte Änderung des Funktionswertes mittels totalen Differentials berechnen

Question

Berechnen Sie mittels Totalen Differentials die angenäherte Änderung des Funktionswertes, wenn die Koordinaten x=1 um + 0,5 und y = 1 um + 0,01 in der Definitionsebene verschoben werden.

Die Funktion hat die Gleichung f(x,y)= 1/(1+x^2+y^2)

Vergleiche den Wert mit der tatsächlichen Funktionsänderung.

Ansatz:

f ' (x) = - 2x/(x^2+y^2+1)^2

f '(y) = - 2y/(y^2+x^2+1)^2

Answer 1

Aloha :)

Die partiellen Ableitungen hast du richtig bestimmt. Jetzt brauchst du sie nur noch zum totalen Differential zusammenzusetzen:

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=-\frac{2x}{(1+x^2+y^2)^2}\,dx-\frac{2y}{(1+x^2+y^2)^2}\,dy$$$$df=-\frac{2(x\,dx+y\,dy)}{(1+x^2+y^2)^2}$$

Speziell für \((x|y)=(1|1)\) und \((\Delta x|\Delta y)=(0,5|0,01)\) erhalten wir damit als Näherung:$$\Delta f\approx-\frac{2\cdot(1\cdot0,5+1\cdot0,01)}{(1+1^2+1^2)^2}=-0,113333$$

Die exakte Änderung beträgt:$$\Delta f=f(1,5|1,01)-f(1|1)=0,234187-0,333333=-0,099146$$

Answer 2

Hallo

Δf=f_x*Δx+f_y*Δy

x,y, und die Differenzen einsetzen.

Gruß lul