Nachweisen, dass Differentialgleichung exakt ist und Anfangswertproblem durch Bestimmung eines Potentials lösen

Question

Aufgabe:

Weisen sie nach, dass die folgenden Differentialgleichungen exakt sind, und lösen Sie die dazugehörigen Anfangswertprobleme durch Bestimmung eines Potentials. Geben Sie in Teil a) die explizite Form der Lösung und den maximalen Definitionsbereich an.

a) y² + 2xy * y' = 2x, y(1) = 2

b) 2x cos²(y) + (2y - x² sin(2y))y'=0, y(1) = π

Problem/Ansatz:

Ich hoffe jemand kann mir bei der Lösung helfen. Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Hallo,

max. Definitionsbereich: x∈R ,x>0

Comments

Vielen dank für die schnelle Antwort!

Hättest du vielleicht auch noch eine Lösung für b?

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b)

gleiches Prinzip wie unter a)

Py=Qx= -4x sin(y) cos(y)

\( y^{2}+\cos ^{2}(y) x^{2}=1+\pi^{2} \)

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Vielen Dank für die Tipps. Das Nachweisen der Dgl. hab ich kapiert, aber noch wirklich das mit dem Potential. Würdest du mir das nochmal erklären?

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Erklärung der Schritte:

1) Bilde das Integral nach P und löse es

2)Setze das Ergebnis + φ(y)

3) Leite nach y ab und setze das Ergebnis =Q und vereinfache

4) Setze φ(y) in 2 ein und setze F(x,y)=C

5)Ergebnis in expliziter Form ->nach y auflösen

in impliziter Form bleibt das Ergebnis so stehen, weil man nicht nach y auflösen kann.

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Ich bekomme immer ein falsches Ergebnis heraus, könntest du das einfach nochmal für mich vorrechnen.

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Aufgabe b)

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