Wie bestimme ich g(x,y) so, dass das Kurvenintegral wegunabhängig ist?

Question

Es sei das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto\left(\begin{array}{c}3 x^{2} \\ y^{3}+z \\ g(x, y)\end{array}\right) \) gegeben.

Es sei \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine beliebige (differenzierbare) Kurve mit vorgegebenem Start- und

Endpunkt \( \gamma(0)=\vec{x}_{0} \) bzw. \( \gamma(1)=\vec{x}_{1} \). Bestimm Sie die Funktion \( g(x, y) \) so, dass das Kurvenintegral
$$ \int \limits_{\gamma}\langle\vec{v}(\gamma), \vec{d} \gamma\rangle$$ wegunabhängig wird.

Ein Kandidat fuer \( g \) ist gegeben durch \( g(x, y)=a x+b y \)

mit \( a= \)       und \( b= \)

Die Funktion \( g \) ist bis auf Addition einer Konstanten eindeutig bestimmt:
(Fuegen Sie 1 fuer 'Ja' und 0 fuer 'Nein' ein.)

Comments

Da v auf einem offenen einfach zusammenhängenden Gebiet definiert ist, kann man das Lemma von Poincare anwenden:

Wenn \( \operatorname{rot} \vec v = \vec 0 \), dann ist \( \vec v \) ein Gradientenfeld und das Integral wegunabhängig.

Answer 1

Aloha :)

Da der \(\mathbb R^3\) ein einfach zusammenhängedes Gebiet ist, ist das Kurvenintegral durch das Vektorfeld \(\vec v\) genau dann wegunabhängig, wenn seine Rotation verschwindet:

$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\stackrel!=\operatorname{rot}\vec v=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3x^2\\y^3+z\\ax+by\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b-1\\0-a\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b-1\\-a\\0\end{pmatrix}$$Da jede einzelne Komponente null sein muss, gibt es genau eine Lösung:$$a=0\quad;\quad b=1$$

Comments

muss in der Klammer, wo das Zeichen der Ableitung ist, \( \begin{pmatrix} 3x\\y+z\\ax+by \end{pmatrix} \), abgeleitet werden und dann da einsetzen und dann multipliziert man beides zusammen oder wie?

da müssen noch die Hochzeichen, aber sonst sieht man den Vektor nicht so wie es hier scheint.

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Das ist das Vektorprodukt, das ist wie folgt definiert:

$$\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3x\\y+z\\ax+by\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_y(ax+by)-\partial_z(y+z)\\\partial_z(3x)-\partial_x(ax+by)\\\partial_x(y+z)-\partial_y(3x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b-1\\0-a\\0-0\end{pmatrix}$$

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Ist jetzt vielleicht eine echt blöde Frage, aber der Vektor wird dann mit sich selber gerechnet oder und ist die Reihenfolge immer so?

Und die letzte Frage wäre noch, wie du auf ax+by kommst :D

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Das steht in der Aufgabenstellung:

Ein Kandidat für \(g\) ist gegeben durch \(g(x,y)=ax+by\).

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Stimmt, jetzt rechne ich das aber aus mit dem Vektorprodukt komme aber nicht auf das Ergebnis was du hast, gibt es dafür einen Rechner?

Man berechnet ja

\(\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3x\\y+z\\ax+by\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_y(ax+by)-\partial_z(y+z)\\\partial_z(3x)-\partial_x(ax+by)\\\partial_x(y+z)-\partial_y(3x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b-1\\0-a\\0-0\end{pmatrix}\)

also die (ax+by)-..... und so weiter ist dabei, ax+by,3x, y+z ein Vektor ja oder?

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Die Differentialoperatoren \(\partial_x,\partial_y,\partial_z\) wirken auf die Komponenten des Vektors \((3x;y+z;ax+by)^T\). Das wird in dem folgenden Video ganz gut erklärt:

https://www.youtube.com/watch?v=NaZ94sMnHjs

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Ahhh okay jetzt verstehe ich. Dankeee dir !!!

Nur die allerletzte Frage noch, wie ist a=0 und b=1, also es steht ja oben, b-1 und -a

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Die Forderung ist ja, dass das Wegintegral unabhägig vom Weg ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Rotation des Vektorfeldes zu Null wird. Daher muss \(b-1=0\) und \(-a=0\) gelten.

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Ahh oki Dankeeschön!!!