Wie löse ich diese Anfangswertaufgabe und bestimme den maximalen Definitionsbereich?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für jedes y0 ∈ ℝ die Lösung der Anfangswertaufgabe.

Geben Sie dabei auch jeweils den maximalen Definitonsbereich an.

y` = $\frac{1}{2}$ $y^{3}$ sin(x)    ,   y(0) = y0

Problem/Ansatz:

Ansatz per Trennung der Variablen, jedoch komme ich nachdem ich nach y aufgelöst habe nicht weiter.

Nach der Auflösung: lyl = $\frac{1}{\sqrt{cos(x) + C}}$

Answer 1

Hallo,

Folgende Lösung:

$y1(x)=-\frac{1}{\sqrt{c_{1}+\cos (x)}}$

$y2(x)=\frac{1}{\sqrt{c_{1}+\cos (x)}}$

Jetzt mußt Du setzen:

y=y0 und x=0

und von der Lösung dann den max. Definitionsbereich bestimmen.

Comments

Hi, Vielen Dank für die Antwort.

Ich kriege als Lösung nach C umgeformt raus: C = $\frac{1}{y0^{2}}$

Und erhalte:

$y1(x)=-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{(y0)^{2}}+\cos (x)}}$

$y2(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{(y0)^{2}}+\cos (x)}}$

Da jetzt nun

y0 > 0 und die Werte von cos(x) nicht größer werden als 1 und -1

⇒ y: ($\frac{1}{y0^{2}}-1$, $\frac{1}{y0^{2}}+1$) → ℝ

Wäre das der korrekte max. Definitonsbereich?

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für C habe ich etwas anderes bekommen

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Danke nochmal für die Antwort!

Etwa C = $\frac{1}{y0^2}$ -1 ? Ja stimmt müsste dann so sein. Dann würde es bedeuten :

⇒ y: ($\frac{1}{y0^{2}}-2$, $\frac{1}{y0^{2}}$) → ℝ

Wäre das der korrekte max. Definitonsbereich?

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$\mathrm{C}=\frac{1}{y 0^{2}}-1$ ist richtig

Ich habe :

$\left\{x \in \mathbb{R}: y 0 \neq 0\right.$ und $\left.y 0^{2} \cos (x)+1>y 0^{2}\right\}$

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Alles klar ich werde versuchen das nachzuvollziehen vielen dank!

Answer 2

Hallo :-)

Quadratwurzeln haben allgemein immer zwei Lösungen: positiv und negativ.