Wie parametrisiere ich hier und wie berechne ich das Integral?

Question

\(\vec{v}:\mathbb{R}^{2}∖(0,0)\to\mathbb{R}^{2}, (x,y)\mapsto\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right)\)

Parametrisieren Sie mit der Kurve →γ den Rand des Einheitskreises im R2 und berechnen Sie fuer das Vektorfeld das Wegintegral

$$ \int \limits_{γ}^{}⟨\vec{v}(\vec{γ}),\vec{d}\vec{γ}⟩ $$

Ich bräuchte hier einmal Hilfe, bitte. Das Problem ist, dass ich noch nicht so ganz verstehe, wie man parametrisiert. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand das nochmal erklären könnte. Bedanke mich im Voraus.

Comments

Schau mal nach ob ich dein \(\LaTeX\) richtig korrigiert habe.

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Ich hab es gerade selbst nochmal bearbeitet, aber vielen Dank für die Mühe.

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Was hältst du von

$$ [0,2\pi] \to \mathbb R^2, \varphi \mapsto (\cos(\varphi), \sin(\varphi)) $$

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ich verstehe aber nicht wie man darauf kommt. kannst du mir das erklären?

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Ich bin darauf gekommen, weil ich so etwas schon einmal gemacht bzw. gesehen habe. Unbefriedigend, klar. Eventuell hilft dir dieser Gedankengang:

Vielleicht kennst du ja komplexe Zahlen und deren Polardarstellung. Oder sogar schon Polarkoordinaten. Da ist die Idee einen Punkt in der Ebene durch seinen Abstand zum Ursprung und einen Winkel zwischen Punkt und x-Achse darzustellen.

Wie du vielleicht siehst ist der Abstand zum Ursprung für alle Punkte auf dem Kreis r r = 1 und wenn du jetzt den Winkel von 0 bis 2π vergrößerst läufst du den Kreis einmal ab. Und so eine Parametrisierung ist ja nichts anderes wie eine Funktion, die die Kurve abläuft.

Die x-Koordinate von B ist r*cos(α), die y-Koordinate von B ist r*sin(α).

Wenn du also α von 0 bis 2π laufen lässt, läuft der Punkt B(α) = (cos(α),sin(α)) (hier jetzt einfach r=1 einsetzen) den Kreis einmal ab. D.h. du kannst

\( \alpha \mapsto B(\alpha) = (\cos(\alpha), \sin(\alpha)) \)

als Parametrisierung nutzen.

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Hallo

noch mal die Bitte an  MatHaeMaticia, du gibst kompetente Antworten, warum immer wieder als Kommentare, dann bleibt die Frage als unbeantwortet im Forum stehen, eine Antwort würde einfach deinen Kommentar kopieren.

Gruß lul

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noch mal die Bitte an MatHaeMaticia, du gibst kompetente Antworten, warum immer wieder als Kommentare,

Die Frage ist noch lange nicht beantwortet. Der Fragesteller muss ja noch das Integral lösen.

dann bleibt die Frage als unbeantwortet im Forum stehen

Es gibt wirklich wenig Dinge die mich weniger interessieren, als der Anteil "unbeantworteter" Fragen. Wenn mein Kommentar dem Fragesteller so reicht und er die Aufgabe bzw. das Vorgehen verstanden hat ist unser Ziel erfüllt. Wenn nicht bleibt Platz für weitere Antworten.

Wenn euch offene Fragen stören, schließt sie doch einfach nach Ablauf einer angemessenen Frist, nehmt sie von der Liste oder gebt Fragestellern die Möglichkeit sie bei Bedarf selbst zu schließen.

Wenn man aber keine kompletten Antwort geben möchte ist es eben nicht zielführend einen Anstoß als Antwort hinzuklatschen. Das senkt die Wahrscheinlichkeit für andere Antworten (ich schaue mir beantwortete zB meist gar nicht an). Und wenn dann keine Rückmeldung vom FS kommt ist die Frage immer noch nicht beantwortet und wird es wahrscheinlich auch nicht mehr. Aber Hauptsache nicht mehr gelistet? Inwiefern entspricht diese Politik dem (angeblichen) Wiki-Charakter? Die Antworten sollen doch auch zukünftigen Fragestellern helfen? Ist das irgendwie so eine Art Phallus-Vergleich zwischen den Matheforen? "In meinem Forum sind 81% der Fragen beantwortet!" "In meinem sogar 85%. Ha!". Wen interessiert so etwas?

Answer 1

Hallo

Danke für deinen Kommentar, der Fragende hatte nur nach Parametrisierung gefragt, nicht nach dem Integral, ich wollte dich nicht provozieren !

Aber ich seh deinen Standpunkt ein

Gruß lul