Wie kommt man aber auf a?

Question

Aufgabe:

\( a^{2} \) - \( x^{2} \)  = (a-x)(b+c-x)

Lösungen: a und \( \frac{b+c-a}{2} \)

Problem/Ansatz:

\( a^{2} \) - \( x^{2} \) = (a-x)(b+c-x)

(a+x)(a-x) = (a-x)(b+c-x) | : (a-x)

a+x = b+c-x

2x = b+c-a

x = \( \frac{b+c-a}{2} \)

Wie kommt man aber auf a?

Comments

Beim Dividieren durch Terme mit x musst du zuerst gucken, ob der Term Null werden kann.

Answer 1

Hallo,

(a+x)(a-x) = (a-x)(b+c-x) | -(a+x)(a-x)

0=(a-x)(b+c-x) -(a+x)(a-x) Klammere (a-x) aus

0=(a-x) ((b+c-x) -(a+x)) ->Satz vom Nullprodukt

1) a-x=0 ------>x=a

2) (b+c-x) -(a+x)=0

b+c-2x-a=0

x=(b+c-a)/2

Comments

Diese Verfahrensweise ist meiner Meinung nach gegenüber dem Teilen durch (x - a) zu bevorzugen.

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Weil beim Teilen durch (x-a) die Lösung x=a verloren geht.

Answer 2

Wie kommt man aber auf a?

Das ist der offensichtlichere Teil. Für x=a sind beide Seiten Null.

Comments

Wenn du das nicht siehst, mache es so:$$(a+x)(a-x) = (a-x)(b+c-x) \quad\vert\quad -((a+x)(a-x)) \\ 0 = (a-x)(b+c-x)-(a+x)(a-x) \\ 0 = (a-x)\cdot((b+c-x)-(a+x)) \\ 0 = (a-x)\cdot(b+c-a-2x) \\ x=a\quad\lor\quad x=\dfrac{b+c-a}{2}$$

PS: Fehler beseitigt.

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Vielen Dank für die guten übersichtlichen Antworten.

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Richtig und zielführend ist auch dies:

(a+x)(a-x) = (a-x)(b+c-x) | : (a-x) ≠ 0

Dann geht die Rechnung so weiter, wie du sie notiert hast und du weißt, dass du (a-x) = 0 auch noch betrachten musst.

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Vielen Dank!

Answer 3

Beim Teilen durch a-x wird für x=a durch Null geteilt. Dieser Fall ist gesondert zu betrachten.

Answer 4

Multipliziere es aus und Du hast eine quadratische Gleichung

-2x^2 + (a + b + c) x + (a^2 - a b - a c) = 0