Vollständige Induktion?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt:

$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{n}{6 n+4} $$

Ich weiß das man laut Induktionsbehauptung auf eigentlich auf (n+1)/(6n+10) kommen soll aber ich komme einfach nicht drauf kann mir das jemand eventuell erklären am besten Schritt für Schritt ?

Answer 1

Hallo,

Der Induktionsanfang ist kein Problem:$$n=1 \implies \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}\space \checkmark$$und der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) (der Induktionsschritt) sieht so aus, dass man die Summe nach \(n+1\) laufen lässt und dann zusammen mit der Induktionsvoraussetzung (für \(n=1\) ok!) zu einem Ausdruck kommt, der enststeht, wenn Du statt \(n\) das \(n+1\) einsetzt. D.h. aus$$\frac{n}{6n+4}$$ muss dann $$\frac{n}{6n+4} \to \frac{n+1}{6(n+1)+4}=\frac{n+1}{6n+10}$$ werden. Die Rechnung ist:$$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}&=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}\space + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{n}{6n+4} + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{n}{2(3n+2)} + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{1}{3n+2}\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{3n+5}\right)\\ &= \frac{1}{3n+2}\cdot\frac{n(3n+5)+2}{2(3n+5)}\\ &= \frac{1}{3n+2}\cdot\frac{3n^2+5n+2}{2(3n+5)}\\ &= \frac{(3n+2)(n+1)}{2(3n+2)(3n+5)}\\ &= \frac{n+1}{6n+10}\\&\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Damit ist bewiesen, dass die Gleichung für alle \(n \in \mathbb N\) zutrifft.

Comments

Danke für die ausführliche Hilfe verstehe nur gerade nicht den Schritt von Zeile 3 auf Zeile 4 mit n zu 1 und auf die andere Seite kommt n/2

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verstehe nur gerade nicht den Schritt von Zeile 3 auf Zeile 4 mit n zu 1 und auf die andere Seite kommt n/2

$$\begin{aligned} \quad\quad&= \frac{n}{2(3n+2)} + \frac{1}{(3 n+2)(3n+5)}&&|\,(3)\\ &= \frac{1}{3n+2} \cdot \frac n2+\frac{1}{3n+2}\cdot \frac{1}{3n+5}&&|\,(4)\\ &= \frac{1}{3n+2}\left(\frac{n}{2} + \frac{1}{3n+5}\right)&&|\,(5)\\&= \frac{1}{3n+2}\cdot\frac{n(3n+5)+2}{2(3n+5)}&&|\,(6)\\ &\text{usw. s.o.}\end{aligned}$$In Zeile (3) habe ich den Term \(1/(3n+2)\) ausgeklammert. Und von (5) auf (6) werden dann die Brüche auf den Hauptnenner gebracht, um sie zu addieren.

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Ah ich verstehe danke dir ^^ hilft mir sehr viel weiter

Answer 2

Hallo

du rechnest einfach nach dass  n/(6n+4)*1/[(3n+2)*(3n+5)] =(n+1)/(6n+10) entweder einfach stur die Gleichung auflösen oder oben n+1 unten 6n+1 ausklammern (dividieren)

oder du nutzt aus dass das eine Teleskopsumme ist und 1/(3k-1)(3k+2)=1/3*(1/(3k-1)-1/(3k+2)) ist entsprechend für k=n+1

Gruß lul

Comments

Das Prob ist das ich da auf n+1 /6n +4 komme und muss ich rechts da nicht noch (n+1) für n einsetzten ?

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Hallo

dann musst du vorrechnen, wie soll ich sonst deinen Fehler finden? ich hatte meine Antwort noch ergänzt.

lul

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Muss gucken wenn nicht schreibe ich es gleich das Bild ist zu groß

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Text erkannt:

Aulpabe 2) Vollstandipe lnderition
\( \sum \limits_{n=\lambda}^{4} \frac{1}{(3 h-1)(3 x+2)}=\frac{u}{6 u+4} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{n}=\frac{1}{(3 \cdot 1-1)(3 \cdot 1+1)}=\frac{1}{(2)(5)}=\frac{1}{6 \cdot 1+4}=\frac{1}{10} \)
\( \sum \limits_{4=1}^{n} \frac{1}{(3)-1 / 13 h+2}=\frac{4}{6 u+4} \)
ludarious Le tauptumg \( \sum \limits_{n=1}^{n+1} \frac{1}{(3 a-1)(3 x+2}=\frac{n+1}{6 \cdot(n+1)+4} \)
Indwriousedritt:
\( =\frac{n \cdot\left(\frac{3}{2} u+\frac{5}{2}\right)+1}{2(3 u+2)\left(3 n+\frac{5}{2}\right)} \)
isarzen
\( =\frac{n+1}{2(2 n+2)}=\frac{n+1}{6 u+4} \)

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Ist doch alles richtig! wenn $$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)} = \frac{n}{6n+4}$$für \(n=1\)  korrekt ist und Du zeigen kannst, dass dann auch $$\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)} = \frac{n+1}{6(n+1)+4}$$richtig ist, dann passt es doch für alle \(n\)!

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Ist doch alles richtig!

Nein - doch nicht. Bei Dir steht ja was anderes. Ab der dritten Zeile von unten kann ich es nicht mehr entziffern ...