Zeigen Sie, dass diese geometrische Reihe der Folge an entspricht.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie ∑ⁿ_k=0 (1/100)^k = an

mit a_(n) = (1/100) * a_(n-1) +1; a₀ = 1

Problem/Ansatz:

Erstmal Hallo, ich bin neu auf diesem Matheforum. Ich bereite mich derzeit auf eine Analysis Klausur vor und hänge schon länger an dieser Aufgabe. Es sind leider keine Lösungen dabei und ich komme hier einfach nicht weiter.

Mein bisheriger Ansatz wäre, das ganze über Induktion zu lösen.

Der IA wäre ja noch leicht: n= 0

∑(1/100)⁰ = 1 = a₀

IV: Die Behauptung gilt für ein festes aber beliebiges n element der Natürlichen Zahlen.

IS: n -> n+1

∑[(1/100)^k] + (1/100)ⁿ⁺¹ = a_(n+1) | - (1/100)ⁿ⁺¹

∑[(1/100)^k]  = a_(n+1) - (1/100)ⁿ⁺¹

Dann kann ich ja jetzt noch für a_(n+1) (1/100) * a_(n) +1 einsetzen. Ich kriege aber diesen Term den ich rübergezogen habe einfach nicht weg. Mein Endziel wäre es ja wieder zu a_(n) zu kommen auf der rechten Seite. Ich weiß auch noch nicht ob Induktion hier die beste Herangehensweise ist, ich komme aber grade irgendwie nicht auf etwas anderes und stehe auf dem Schlauch. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen! Ein Tipp zur Herangehensweise oder generell, wär super :)

Dankeschön schonmal

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie Σ _{k=0}^{n}(\frac{1}{100})^{k}=a_{n}

Stichworte: folge,summe,beweise

Aufgabe:

ich bin gerade dabei eine Altklausur zu machen als Übung. Dort habe ich diese Aufgabe gefunden:

Geg.: \( a_{n}=\left(\frac{1}{100}\right) * a_{n-1}+1 ; a_{0}=1 \)

a. Zeigen sie \( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{100}\right)^{k}=a_{n} \)

Meine Frage:

Die +1 in der Vorschrift der Folge müsste weg, oder? Ansonsten hätten wir ja zum Beispiel für

n=1 :

\( \frac{1}{100} \) = \( \frac{1}{100} \) + 1

Was allerdings nicht korrekt ist.

Answer 1

Für n = 0 hast du bereits den Nachweis erbracht

Die Summenformel ergibt:

∑ (k = 0 bis n) ((1/100)^k) = (100 - (1/100)^n) / 99

Das setze jetzt in die andere Gleichung ein

a(n) = (1/100) * a(n - 1) + 1
(100 - (1/100)^n) / 99 = 1/100 * (100 - (1/100)^(n - 1)) / 99 + 1
100 - (1/100)^n = 1/100 * (100 - (1/100)^(n - 1)) + 99
100 - (1/100)^n = 1 - (1/100)^n + 99
100 - (1/100)^n = 100 - (1/100)^n

Sieht also prima aus.

Fall ihr die Summenformel nicht benutzten dürft, kannst du auch direkt die Summen einsetzen und vereinfachen. Probier das ruhig zunächst selber aus. Wenn du damit aber Probleme hast schreib ruhig mal hin wie weit du kommst und ich helfe dann gerne weiter.

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Vielen Dank! Das mit dem Einsetzen ist ein sehr sinnvoller weg, den hatte ich nicht auf dem Schirm. Damit habe ich es verstanden :) Ohne Summenformel probiere ich zur Übung auch nochmal selber aus, aber das habe ich schonmal gut nachvollzogen!

Viele Grüße,

Anni

Answer 2

Zeigen Sie ∑ⁿ_k=0 (1/100)^k = a(n)
mit a(n) = (1/100) * a(n-1) +1; a0 = 1

Hallo Anni,

ich habe es einmal ohne Summenformel versucht.

\(a_{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{100}\right)^k\)

\(1+\frac{1}{100}a_{n-1}\\=1+\frac{1}{100}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{100}\right)^k\\ =1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{100}\right)^{k+1}\\=1+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac1{100}\right)^{k} \\=\sum\limits_{k=0}^{n}\left(\frac1{100}\right)^{k} \\=a_n\)

:-)

Answer 3

Der Quotient zweier Folgeglieder muss immer derselbe sein:

a_n/a_(n-1) = konstant

(1/100)^k/(1/100)^(k-1) = 1/100

oder:

(1/100)^(k+1)/(1/100)^k = 1/100

Comments

"Der Quotient zweier Folgeglieder muss immer derselbe sein:
a_n/a_(n-1) = konstant"

Diese Aussage verwirrt mich gerade. Vielleicht missinterpretiere ich deine Aussage aber auch. Für die Folge \(b_n = \frac{1}{100^n}\) stimmt die Aussage, aber für die in der Aufgabe gegebene Folge \(a_n = \frac{a_{n-1}}{100} + 1\) gilt die Aussage nicht mehr, denn:

\( \frac{a_1}{a_0} = 1.01 \)

\(\frac{a_2}{a_1} = 1.00009...\)

\(\frac{a_3}{a_2} = 1.0000009...\)

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Answer 4

Hallo :-)

Rechne beiden Seiten mal aus:

FOLGE:

\(a_1=\frac{1}{100}\cdot a_0+1=\frac{1}{100}+1\)

SUMME:

\(\sum\limits_{k=0}^1 \left(\frac{1}{100}\right)^k=\left(\frac{1}{100}\right)^0+\left(\frac{1}{100}\right)^1=1+\frac{1}{100}=a_1\)

Ansonsten empfielt sich zb direkt die geometrische Summenformel geschlossen hinzuschreiben oder du machst Induktion.

Comments

Achso ja klar, hab die \( (\frac{1}{100})^{0} \) vergessen. Danke dir

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Wie würdest du es denn mit Induktion zeigen? Ich komme da nicht wirklich weiter.

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Schaue dir mal den Link an. Ansonsten mit der Rekursion im Induktionsschritt arbeiten.