Question

Untersuchen Sie, für welche x die folgende Reihe konvergiert: $$ \sum\limits_{n=0}^{\infty} {\frac{(n^2+7n)x^n}{e^n}} $$

Comments

Weisst du noch, wie https://www.mathelounge.de/857897/untersuchen-folgende-konvergenz-berechnen-konvergenz-grenzwert#q857897 ging?

Bringt Folgendes etwas: x^n / e^n = (x/e)^n ? Dazu dann noch Vorfaktor und Summenzeichen?

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\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(x/e)^n} \) ist eine geometrische Reihe, und diese konvergiert falls |x| < e.
Aber was ist mit der Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n^2+7n)/e^n} \), wie kann ich diese Reihe überhaupt auf Konvergenz untersuchen?

Answer 1

Die Reihe \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} {\frac{(n^2+7n)x^n}{e^n}} \) ist eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\).

Zu jeder Potenzreihe \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\cdot \left(x-x_0\right)^n \) mit Entwicklungspunkt \(x_0\) gibt es ein \(r\in \mathbb{R}\cup\{\infty\}\), so dass die Reihe konvergiert falls

        \(\left|x - x_0\right| < r\)

ist und divergiert falls

        \(\left|x - x_0\right| > r\)

ist. Die Zahl \(r\) heißt Konvergenzradius der Potenzreihe und du solltest in deinen Unterlagen zwei Formeln finden, wie du ihn berechnest.

Den Fall \(\left|x - x_0\right| = r\) musst du gesondert untersuchen.

Comments

Der Konvergenzradius kann auch unendlich sein.

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Weiß ich doch ... :-)

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Ja, das dachte ich mir.

Answer 2

Mit $$ a_{n} = \dfrac{n^2+7n}{e^n} $$ ist der Konvergenzradius hier $$ r = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \dfrac {a_{n}}{a_{n+1}} \right|. $$ Die Reihe konvergiert für alle \(x\) innerhalb des Konvergenzradius und divergiert für alle \(x\) außerhalb. Die Fälle \(x=r\) und \(x=-r\) müssen gesondert untersucht werden.

Rechne also zunächst \(r\) aus.