Nullstellen, Extrema einer Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ ℝ und f_a(x)=x⁴−ax²

^{a) Für jedes a die Anzahl der Nullstellen der Funktion bestimmen.
b) Für jedes a die lokalen Extrema der Funktion bestimmen.
c) Die Graphen von f1, f0, f-1 skizzieren.}

Problem/Ansatz:

Das ist meine Lösung:

(a) f‘(a)=-x²  ; f“(a)=0 -> Nullstelle für a=x²

(b) das wüsste ich leider nicht

(c) für -1 und 1 sieht er gleich aus: \ und bei 0 liegt er gerade auf der x-Achse

Ist das so richtig? Wenn nein, wie müsste es richtig sein?

Answer 1

a) Nullstellen

f(x) = x^4 - a·x^2 = x^2·(x^2 - a) = 0

für a < 0 eine doppelte Nullstelle bei x = 0

für a = 0 eine vierfache Nullstelle bei x = 0

für a > 0 eine doppelte Nullstelle bei x = 0 und Nullstellen bei x = ± √a. Also insgesamt 3 Nullstellen.

b) Extrempunkte

f'(x) = 4·x^3 - 2·a·x = 2·x·(2·x^2 - a)

für a < 0 eine Nullstelle bei x = 0 → TP(0 | 0)

für a = 0 eine dreifache Nullstelle bei x = 0 → TP(0 | 0)

für a > 0 eine Nullstelle bei x = 0 und Nullstellen bei x = ± √(a/2) → HP(0 | 0) ; TP(± √(a/2) ; - a^2/4)

c) Skizzen

~plot~ x^4-(-1)x^2;x^4-(0)x^2;x^4-(1)x^2;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Ist der Rest sonst ok? Und zu den Nullstellen, wieso x²*(x²-a)? Ist das die Ableitung oder was genau? Wenn ja, ich dachte die Ableitung für a wäre -x²?

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Und ich hab noch Probleme dabei die Nullstellen zu bestimmen, wie genau muss man da die Aufgabe angehen?

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Bei x^2·(x^2 - a) hat man nur ausgeklammert. Das ist keine Ableitung.

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Und ich hab noch Probleme dabei die Nullstellen zu bestimmen, wie genau muss man da die Aufgabe angehen?

Zunächst eben x^2 ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Also jeden Faktor getrennt gleich Null setzen

x^2·(x^2 - a) = 0

ist also

x^2 = 0
x^2 - a = 0

Beide Gleichungen solltest du sicher lösen können oder?

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Beide Gleichungen solltest du sicher lösen können oder?

So gemeint? 0² = 0 und 0²-a=0

Oder was genau meinen Sie?

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Gleichungen lösen bedeutet normalerweise nach x auflösen um zu sehen was man für x einsetzen muss damit die Gleichung stimmt. Danach eventuell die Probe machen.

Die Lösungen habe ich ja bereits angegeben sodass du eine Kontroll-Lösung hast. Solltest du etwas anderes herauskommen können wir gerne klären ob deine oder meine Rechnung richtig ist und warum.

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Also müsste ich dann jetzt x²*(x²-a) nach x auflösen?

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Also müsste ich dann jetzt x^2*(x^2-a) nach x auflösen?

Das was du jetzt aufgeschrieben hast ist keine Gleichung und kannst du damit auch nicht auflösen

x^2*(x^2-a) = 0 

ist eine Gleichung die es zu lösen gilt. Da es aber schwer ist nach x aufzulösen wendet man hier zunächst den Satz vom Nullprodukt an und teilt diese eine Gleichung erstmal in zwei einfachere Gleichungen auf

x^2 = 0
x^2 - a = 0

Diese beiden Gleichungen werden jetzt gelöst. D.h. nach x aufgelöst.

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Für x^2=0 hätte ich: x=0

Für x^2-a=0 hätte ich: ±\( \sqrt{a} \)

Ich glaube, dass ich auf dem Schlauch stehe

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Nein. Die Ergebnisse sind völlig richtig. Die hatte ich ja auch so heraus.

Jetzt machst du eine Fallunterscheidung für a < 0 ; a = 0 und a > 0

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