Reihe auf Konvergenz prüfen und Grenzwert bestimmen

Question

Aufgabe:

Reihe auf Konvergenz prüfen und Grenzwert angeben

(a) $\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{2}{n^2-1}}$

(b) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n+2}}{3^n}}$

Problem/Ansatz:

Ich hatte bis jetzt das für (a):

$\lim\limits_{x\to\infty}$ | $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ |

= $\frac{\frac{2}{(n+1)^2-1}}{\frac{2}{n^2-1}}$ = $\frac{2}{(n+1)^2-1}$ * $\frac{n^2-1}{2}$

= hier wüsste ich dann nicht wie ich weitermachen soll, ich hätte die n² unter den Bruch gezogen, aber bin mir unsicher, ob das so richtig ist?

Und zur (b) habe ich:

$\lim\limits_{x\to\infty}$ | $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ |

= $\frac{\frac{2^{n+3}}{3^{n+1}}}{\frac{2^{n+2}}{3^n}}$ = $\frac{2^{n+3}}{3^{n+1}}$ * $\frac{3^n}{2^{n+2}}$

= hier hätte ich dann 3ⁿ runtergezogen, was dann zu 3^-n werden würde, aber da bin ich mir auch unsicher.

Oder benutze ich hier das falsche Kriterium?

Answer 1

Hallo,

zu b)

das Kriterium ist richtig.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! :)

Müsste ich bei (a) dann ein anderes Kriterium benutzen? Oder sollte es da auch gehen?

Answer 2

b) mit Summenformel:

2² vor die Summe ziehen:

(2/3)ⁿ hat den Summenwert: 2⁰/(1-2/3) = 3

-> Summenwert = 4*3 = 12

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Dankeschön für die Antwort!