Bestimmen des Minimums und Maximums

Question

Aufgabe:

Zu bestimmen ist das Minimum und Maximum der Funktion f(x)= (1+x) Wurzel aus (1-x^2).

Ich gehe davon aus dass hier die Produktregel und die Kettenregel zur Anwendung kommt.

Wenn ich jetzt die Wurzel umschreibe, dann habe ich (1-x^2)^1/2. Hier müsste ich wohl die Kettenregel anwenden.

Mir ist jetzt nicht klar, wie ich hier eine innere und äußere Funktion zustande bringen kann und wie ich dann weiterrechnen muss.

Answer 1

Ich gehe davon aus dass hier die Produktregel und die Kettenregel zur Anwendung kommt.

Ja und zusammen mit der Ableitung der Quadratwurzel sieht das dann im ersten Schritt so aus: $$f(x) = (1+x)\cdot\sqrt{1-x^2} \\ f'(x) = 1\cdot\sqrt{1-x^2}+(1+x)\cdot 2x\cdot\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{1-x^2}}$$ Danach kann noch vereinfacht werden.

Comments

Statt \(2x\) muss es natürlich \((-2x)\) heißen.

Answer 2

Hallo,

die innere Funktion ist 1-x^2, die äußere Funktion ist Wurzel aus z (z ersetzt die innere Funktion).

Für die komplette Funktion f ist zum Ableiten Produktregel erforderlich, wie du richtig vermutest. Der eine Faktor ist u(x)=1+x und lässt sich wohl einfach ableiten. Der andere Faktor ist v(x)=(1-x^2)^(1/2) und sollte mit der Kettenregel (äußere Ableitung mal innerer Ableitung) abgeleitet werden.

Comments

@Gast az0815     Die innere Ableitung ist doch -2x, oder?

Answer 3

Du meinst:

(1+x)*√(1-x^2) = (1+x)*(1-x^2)^(1/2)

-> f '(x) = 1*(1-x^2)^(1/2)+ (x+1)*(1/2)*(1-x^2)^(-1/2)*(-2x)

= (1-x^2)^(-1/2)*(1-x^2-x^2-x)  = (-2x^2-x+1)/√(1-x^2)

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Ich habe leider im Moment noch Ladehemmung. Bei der Kettenregel ist hier die innere Funktion -2x. Dann dachte ich es sei mir klar dass die äußere Funktion 1/2(1-x)^-1/2 ist. Jetzt ist mir zwar klar, dass (1-x)^1/2 dasselbe ist wie ✓(1-x), aber mit der Multiplikation von 1/2 am Anfang komme ich nicht zurecht. Vielleicht ist dann auch klar, wie ich auf daß Ergebnis der Ableitung durch Einsetzen in die Produktregel komme.

Answer 4

Hallo,

y=(1+x) *√(1-x^2) --->Produktregel

u= 1+x ; v= (1-x^2)^(1/2)

u'= 1    ; v'=(1/2) (1-x^2) ^(-1/2) * (-2x)

y'=u' v +u v'

y'= 1*(1-x^2)^(1/2) + (1+x) * (-x)(1-x^2)^(-1/2)

dann weiter vereinfachen

Comments

Die Frage kommt jetzt zwar etwas spät, aber trotzdem: Ist es richtig, das die Hochzahl 1/2 nach vorne kommt, vermutlich ja. Wie kommt es zu der Hochzahl -1/2. Die -2x kann ich jetzt auch nicht einordnen.

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Hallo,

Allgemein gilt: \( y=x^{n} \)

Ableitung: \( y^{\prime}=n \cdot x^{n-1} \).

z=1-x^2

Die innere Ableitung lautet: -2x
Die äußere Ableitung lautet : 1/2·z^(-1/2)

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Erstmal danke für die schnelle Antwort. Jetzt trotzdem noch eine weitere Frage; Die Lösung der ersten Ableitung lautet -2x^2-x+1/Wurzel aus 1-x^2. Nur noch Mal zur Sicherheit. Die 1-x^2 sind der komplette Wurzelausdruck. Mir ist nicht klar, warum es hier zu einem Bruch kommt. Und daß Einsetzen der Ableitung des Ausdrucks der mit der Kettenregel abgeleitet wurde und oberhalb des Bruchstrichs eingesetzt wurde ist mir leider auch nicht wirklich klar bzw verständlich.

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Answer 5

\( \sqrt{1-x^2} \)=(1-x²)^1/2 

Innere Funktion u=1-x²;  innere Ableitung: -2x

Äußere Funktion u^1/2; äußere Ableitung: 1/2·u^-1/2

Answer 6

f(x) = (1 + x)·√(1 - x^2)

Ableitung über Produkt und Kettenregel

Die Ableitung kannst du dir vorrechnen lassen unter https://www.ableitungsrechner.net/

f'(x) = - (2·x^2 + x - 1)/√(1 - x^2) = 0 --> x = 1/2 ∨ x = -1

Das Minimum wird an den Definitionsgrenzen x = ± 1 angenommen und beträgt 0

Das Maximum wird bei x = 1/2 angenommen und beträgt 3/4·√3

Skizze

~plot~ (1+x)*sqrt(1-x^2);[[-2|2|0|2]] ~plot~

Answer 7

Auch wenn schon viele geantwortet haben, möchte ich meinen Rechenweg zeigen:

\(f(x)\\ = (1+x)\cdot\sqrt{1-x^2}\\=(1+x)(1+x)^{1/2}(1-x)^{1/2}\\=(1+x)^{3/2}(1-x)^{1/2}\)

\(f'(x)\\=\frac32(1+x)^{1/2}(1-x)^{1/2}+(1+x)^{3/2}\cdot(-\frac12)(1-x)^{-1/2}\\ =\frac32\sqrt{1-x^2}-\frac12\sqrt{\frac{(1+x)^3}{1-x}}\)

Graph von f(x):

Graph von f'(x):

:-)