Berechnen Sie die Summe aller 19-ten Wurzeln von -4-7i.

Question

Aufgabe:

Hallo,

dies ist die Angabe:
Berechnen Sie die Summe aller 19-ten Wurzeln von -4-7i.

Wenn man auf Wolfram Alpha geht und dies eingibt, sieht man die alle 19 Ergebnisse.

Meine Frage wäre, ob man alle diese 19 Zahlen wirklich explizit mit dem Taschenrechner zusammenrechnen muss (wir müssen auf 4 Nachkommastellen runden...) oder gibt es dafür einen Trick?

Danke für Tipps.
V.

Comments

Die Wurzeln liegen in der Gauß'schen Zahlenebene symmetrisch verteilt auf dem Einheitskreis-Bogen. Ihre Summe ist \(0\). Da brauchst du eigentlich gar nichts zu rechnen.

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Die Wurzeln liegen in der Gauß'schen Zahlenebene symmetrisch verteilt auf dem Einheitskreis-Bogen. Ihre Summe ist \(1\).

Der Betrag von -4-7i ist nicht gleich 1. Deshalb liegen die Wurzeln nicht auf dem Einheitskreis.

Und die Summe ist wohl eher 0.

:-)

Answer 1

Hallo,

ich vermute, dass die Summe 0 beträgt.

Ein paar einfache Beispiele:

z^2=1 → 1+(-1)=0

z^4=1 → 1+i+(-1)+(-i)=0

Bei z^5=a+bi erhältst du 5 Zeiger in der Gauß'schen Ebene, die du zu einem regelmäßigen Fünfeck zusammensetzen kannst, sodass die Summe wieder 0 ergibt.

Entsprechend ist es bei z^{19} ein regelmäßiges 19-Eck.

:-)

Comments

Ah, ok. Also die Summe aller Wurzeln einer Zahl ist immer null.

Danke :)

Answer 2

Seien \(z_1,\cdots,z_{19}\) die 19-ten Wurzeln aus \(-4-7i\). Es handelt sich um

die Nullstellen von \(p=X^{19}+4+7i \)

Nun ist \(p=(X-z_1)\cdot(X-z_2)\cdots(X-z_{19})=X^{19}-(z_1+\cdots+z_{19})X^{18}+\cdots\).

Vergleich des Koeffizienten von \(X^{18}\) ergibt:

\(z_1+z_2+\cdots+z_{19}=0\).

Gruß ermanus