Funktion untersuchen (Nullstellen etc)

Question

Hey, kann mir bitte jemand schnell helfen? Ich war letzten 2 Wochen im Krankenhaus und hab daher verpasst, wie meine Klasse das Thema angefangen hat. Und fühl mich jetzt ein bisschen aufgeschmissen. Jede Hilfe würde mich freuen.

Also folgende Aufgabe:

f(x)=(-x^4)+(2x^2)+3

ich soll "Die Ableitungen bilden und damit Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte herausfinden."

Ich weiß ehrlich gar nicht wie das geht. Das mit den Ableitungen hab ich mir jetzt selbst glaub ich bisschen beigebracht. Meines Erachtens her müsste die erste Ableitung 4x-4x^3 sein oder?

Aber wie bekomme ich jetzt diese ganzen Infos heraus? :( danke

Answer 1

f(x)=(-x^4)+(2x^2)+3

Parabeln 4.Grades haben immer 4 Nullstellen:

-x^4+2x^2+3=0|*(-1)

x^4-2x^2=3

(x^2-1)^2=3+(1)^2=4|\( \sqrt{} \)

1.)x^2-1=2

x^2=3|\( \sqrt{} \)

x₁=\( \sqrt{3} \)

x₂=-\( \sqrt{3} \)  Diese Nullstellen liegen in ℝ.

2.)x^2-1=-2

x^2=-1=i^2|\( \sqrt{} \)

x₃=i

x₄=-i

Diese Nullstellen liegen in ℂ.

Extremwerte: f´(x)=0

f´(x)=-4x^3+4x

-4x^3+4x=0

x*(-4x^2+4)=0

x₁=0      f(0)=3

-4x^2+4=0

x^2=1|\( \sqrt{} \)

x₂=1    f(1)=4

x₃=-1    f(-1)=4

Art der Extremwerte:

f´´(x)=-12x^2+4

f´´(0)=-12*0^2+4=4>0 Minimum

f´´(-1)=-12*(-1)^2+4=-8<0 Maximum

f´´(1)=-12*(1)^2+4=-8<0 Maximum

Wendepunkte: f´´(x)=0

-12x^2+4=0

x^2=\( \frac{1}{3} \)|\( \sqrt{} \)

x₁=\( \frac{1}{3} \)\( \sqrt{3} \)      f(\( \frac{1}{3} \)\( \sqrt{3} \))=...

x₂=-\( \frac{1}{3} \)\( \sqrt{3} \)      f(\( \frac{1}{3} \)\( \sqrt{3} \))=...

Answer 2

Aloha :)

1) Zur Bestimmung der Nullstellen kannst du den Funktionsterm wie folgt faktorisieren:$$f(x)=-x^4+2x^2+3=-(x^4-2x^2-3)=-(x^2-3)(x^2+1)$$Der zweite Faktor \((x^2+1)\) ist stets \(\ge1\). Daher kann nur der erste Faktor \((x^2-3)\) null werden. Das ist für \(x=\pm\sqrt3\) der Fall.

2) Zur Bestimmung der Kandidaten für Extremwerte kannst du den faktorisierten Funktionsterm mit Hilfe der Produktregel ableiten:$$f'(x)=-2x\cdot(x^2+1)-(x^2-3)\cdot 2x=-2x(x^2+1+x^2-3)=-2x(2x^2-2)$$$$f'(x)=-4x(x^2-1)$$Die Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen, also \(x=0\) und \(x=\pm1\).

3) Zur Bestimmung der Art der Extrema brauchen wir die zweite Ableitung$$f''(x)=\left(-4x(x^2-1)\right)'=\left(-4x^3+4x\right)'=-12x^2+4=-4(3x^2-1)$$Damit haben wir tatsächlich 3 Extrema vorliegen:$$f''(\pm1)=-8<0\implies\text{Maxima}\quad;\quad f''(0)=4>0\implies\text{Minimum}$$

4) Kandidaten für Wendepunkte finden wir an den Stellen, wo die zweite Ableitung Null wird:$$0\stackrel!=f''(x)=-4(3x^2-1)\implies 3x^2=1\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$$Zur Prüfung, ob es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt, muss die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null sein:$$f'''(x)=-24x\implies f'''\left(\pm\frac{1}{\sqrt3}\right)\ne0\implies\text{Wendepunkte}$$Die Funktion hat also tatsächlich zwei Wendepunkte.

~plot~ -x^4+2x^2+3 ; [[-2|2|-5|5]] ; {sqrt(3)|0} ; {-sqrt(3)|0} ; {0|3} ; {1|4} ; {-1|4} ; {1/sqrt(3)|32/9} ; {-1/sqrt(3)|32/9} ~plot~