Bestimme alle Lösungen von Z^4 = 8i √{3} -8

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Lösungen von Z^4+8i\( \sqrt{3} \)-8

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht weiter mir fällt dieser aufgabentyp leider noch sehr schwer:

z^4=-8\( \sqrt{3} \)i+8         -> auf die Form Z=x+yi bringen

x=8

y=-8\( \sqrt{3} \)

Z(Betrag)=r=\( \sqrt[4]{8+8\sqrt{3}} \)=2,16     (Da es ja um Z Betrag geht kann ich ja unter der Wurzel aus -y auch +y machen)

als nächstes hätte ich den Winkel ausgerechnet um auf phi zu kommen mit:

arccos(\( \frac{x}{r} \) oder arctan(\( \frac{y}{x} \)*2pi (da 4 quadrant, da x>0 y<0 ?)

nur leider klappt das alles nicht so wirklich.

vielen dank für die hilfe im voraus. ;)

Answer 1

z^4 = -8 + 8·√3·i
z^4 = 16·e^(i·2/3·pi + k·2·pi)
z = 2·e^(i·1/6·pi + k·1/2·pi) für k = 0, 1, 2, 3

z1 = 2·e^(pi·i/6)
z2 = 2·e^(pi·(i + 3)/6)
z3 = 2·e^(pi·(i + 6)/6)
z4 = 2·e^(pi·(i + 9)/6)

Answer 2

Aloha :)

Ich vermute mal, dass der Term gleich Null sein soll:$$0\stackrel!=z^4+8i\sqrt3-8=z^4-8\left(1-i\sqrt3\right)$$Ich würde die komplexe Zahl in Polardarstellung schreiben:$$1-i\sqrt3=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\cdot e^{-i\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}}\right)}=2e^{-i\,\arccos\left(\frac12\right)}=2e^{i\left(-\frac{\pi}{3}+2\mathbb Z\pi\right)}$$Beachte, dass wir dabei schon die \(2\pi\)-Periode der Cosinus-Funktion berücksichtigt haben. Damit lautet nun die Gleichung:

$$\left.z^4-8\cdot2e^{i\left(-\frac{\pi}{3}+2\mathbb Z\pi\right)}=0\quad\right|+16e^{i\left(-\frac{\pi}{3}+2\mathbb Z\pi\right)}$$$$\left.z^4=16e^{i\left(-\frac{\pi}{3}+2\mathbb Z\pi\right)}\quad\right|\left(\cdots\right)^{\frac14}$$$$\left.z=16^{\frac14}e^{i\frac14\left(-\frac{\pi}{3}+2\mathbb Z\pi\right)}\quad\right|16^{\frac14}=(2^4)^{\frac14}=2$$$$z=2e^{i\left(-\frac{\pi}{12}+\frac12\mathbb Z\pi\right)}$$Wenn wir für das symbolische \(\mathbb Z\) nun alle ganzen Zahlen einsetzen, erkennen wir, dass wir nur für \(z=0,1,2,3\) unterschiedliche Lösungen erhalten. Alle anderen Lösungen sind mit einer dieser vier identisch. Die Lösung für \(z=4\) ist z.B. dieselbe wie die für \(z=0\).

Damit lauten unsere Lösungen:

$$z=2e^{i\left(-\frac{\pi}{12}+\frac n2\pi\right)}\quad;\quad n=0,1,2,3$$

Comments

vielen dank für die antwort,

folgendes würde mich hier interessieren:

1: das ist doch die exponentialform und nicht die polardarstellung?

2: muss ich die -8 ausklammern? wenn ich als x=8 nehme und y= 8*\( \sqrt{3} \)

 und davon arctan\( \frac{y}{x} \) erhalte ich ebenfalls den Winkel von 66,666667 grad.

 nur warum muss ich in diesem fall nicht den quadranten mit einrechnen, ich dachte        beim benutzen der tangensfunktion ist das erforderlich.

3: bis zu dem schritt: 2e^(-i*arccos(0,5)) verstehe ich noch alles, nur was wurde dann         eingesetzt?

4: kann ich nicht zum ausrechnen der lösungen folgendes machen:

r*(cos\( \frac{φ+k*2pi}{n} \))+i*(sin\( \frac{φ+k*2pi}{n} \))

-> 2*(cos\( \frac{1,164+k*2pi}{4} \))+i*(sin\( \frac{1,164+k*2pi}{4} \))

k=(0;1;2;3)

φ= 1,164= \( \frac{66,6666667°}{57,296} \)

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zu 1) Polardarstellung und Exponentialform sind bei komplexen Zahlen gleichwertig verwendete Synonyme.

zu 2) Ich habe die \((-8)\) ausgeklammert, um kleinere Zahlen zu haben. Das muss man nicht machen. Du kannst das Argument der Polardarstellung auf verschiedene Arten berechnen, zum Beispiel:$$\varphi=\arctan\left(\frac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}\right)\quad;\quad \varphi=\arccos\left(\frac{\operatorname{Re}}{\sqrt{\operatorname{Re}^2+\operatorname{Im}^2}}\right)$$Bei der Nutzung von \(\arctan\) musst du zum Ergebnis noch \(\pi\) addieren, falls der Realteil negativ ist, weil der Bruch \(\frac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}\) nicht zwischen dem ersten \((\mathrm{Re}>0\;;\;\mathrm{Im}>0)\) und dritten \((\mathrm{Re}<0\;;\;\mathrm{Im}<0)\) sowie dem zweiten \((\mathrm{Re}<0\;;\;\mathrm{Im}>0)\) und vierten \((\mathrm{Re}>0\;;\;\mathrm{Im}<0)\) Quadranten unterscheiden kann.

Bei der Nutzung von \(\arctan\) musst du nur auf das Vorzeichen des Imaginärteils achten, das du wegen \(e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\cdot\sin\varphi\) direkt aus der komplexen Zahl ablesen kannst.

zu 3) Der Rechner liefert \(\arccos\left(\frac12\right)=\frac\pi3\). Das ist aber nur die halbe Wahrheit, weil die Cosinus-Funktion die Periode \(2\pi\) hat. Man kann also zu \(\frac\pi3\) beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren und erhält trotzdem denselben Cosinus-Wert. Das wurde durch den Term \(2\mathbb Z\,\pi\) berücksichtigt.

zu 4) Ja, du könntest die Exponentialfunktion mit der Euler-Formel$$e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\,\sin\varphi$$in Cosinus und Sinus aufspalten. Aber dann musst du auch das richtige Argument verwenden.

Answer 3

Du solltest lieber deine Gleichung so umschreiben:

\(z^4=16(\frac{1-i\sqrt{3}}{2})\).

Nun ist \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\cos(\pi/3)-i\sin(\pi/3)=\cos(5\pi/3)+i\sin(5\pi/3)\) ...

Comments

vielen dank erstmal,

wo kommen die pi/3 her und warum muss ich das mit *5 erweitern?

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Das kannst du in jeder Tabelle für spezielle Sinus-und Cosinuswerte
nachschauenn, z.B.:

https://www2.hs-esslingen.de/~kamelzer/2011WS/Werte_sin_cos.pdf

Es ist \(\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos(2\pi-\alpha)\) und

\(-\sin(\alpha)=\sin(-\alpha)=\sin(2\pi-\alpha)\)