wie komme ich auf a und b?

Question

Aufgabe:

Eine Parabel dritter Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von A=27

Wie heisst die Gleichung dieser Parabel
Problem/Ansatz:

wie komme ich auf a und b?

Comments

Eine Parabel dritter Ordnung ... wie komme ich auf a und b?

Wenn dritter Ordnung, dann gibt es auch c und d.

y = ax³ + bx² + cx + d

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Ja c ist auch gesucht, aber d fällt ja weg, wegen dem Ursprung (0/0)

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Wie sieht denn Dein Gleichungssystem bisher aus?

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Ich habe mal einmal abgeleitet und 2 für das Extrema eingesetzt.

12a+4b+c= ?

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gleich Null, nicht gleich Fragezeichen

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aber wieso gleich null?

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weil dort ein Extremum ist.

Ebenso bei x = 0, übrigens ("berührt im Ursprung").

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ah stimmt

und wie komme ich auf die zweite Gleichung?

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Das "berührt im Ursprung" gibt Dir zwei weitere Gleichungen.

Answer 1

Eine Parabel dritter Ordnung   y = ax^3 + bx^2 + cx + d

berührt die x-Achse im Ursprung,

f(0)=0 und f'(0)=0  ==>  c=d=0

hat ein Extremum bei x=2

f'(2)=0     f'(x) = 3ax^2  + 2bx   also  12a + 4b=0 ==>   b= -3a

somit bleibt  y = ax^3 - 3ax^2 = x^2 * ( ax - 3a)  Fehler korrigiert !

somit Nullstelle bei x=3 und damit folgt aus

und schliesst im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von A=27

Integral von 0 bis 3 f(x)dx = 27

Eine Stammfunktion ist   ax^4 / 4  - 3ax^3/3 =   ax^4 / 4  - ax^3

Bei 3 also Wert -27a/4   und bei 0 ist es 0.

Somit gilt für das Integral -27a/4 - 0 = 27 also a= -4

Also a=21,6 und mit b= -3a bekommst du b.

Comments

In obiger Rechnung hat sich ein Fehler eingeschlichen:

"Eine Parabel dritter Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schließt im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von A=27ein."

f(x)=ax^3+bx^2

Extremum bei x=2

f´(2)=3a*2^2+2b*2=12a+4b

1.)12a+4b=0     b=-3a

f(x)=a*x^3-3a*x^2

Nullstellen:

a*x^3-3a*x^2=0|:a  mit a  ≠ 0

x^3-3*x^2=0

x^2*(x-3)=0

x=0  doppelte Nullstelle (Extremwert)

x-3=0       x=3  ( einfache Nullstelle)

\( 27=\int \limits_{0}^{3}\left(a \cdot x^{3}-3 a \cdot x^{2}\right) \cdot d x=\left[\frac{a}{4} \cdot x^{4}-a \cdot x^{3}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{a}{4} \cdot 3^{4}-a \cdot 3^{3}\right]-0 \)
\( a=-4 \)
\( f(x)=-4 x^{3}+12 \cdot x^{2} \)

Answer 2

Eine Parabel dritter Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schließt im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von A=27 ein.

Weg über die Linearfaktorform der Parabel 3.Grades:

f(x)=a*x^2*(x-N)=a*x^3-a*N*x^2   (wegen Berührung im Ursprung )

f´(x)=3a*x^2-2a*N*x  

Extremum bei x=2:

f´(2)=3a*2^2-2a*N*2=12a-4aN  

12a-4aN=0  b → a*( 12-4N)=0  →N=3

f(x)=a*x^3 - 3a*x^2

\( f(x)=a \cdot x^{3}-3 a \cdot x^{2} \)
\( 27=\int \limits_{0}^{3}\left(a \cdot x^{3}-3 a \cdot x^{2}\right) \cdot d x=\left[\frac{a}{4} \cdot x^{4}-a \cdot x^{3}\right]_{0}^{3}=\left[\frac{a}{4} \cdot 3^{4}-a \cdot 3^{3}\right]-0 \)
\( a=-4 \)
\( f(x)=-4 \cdot x^{3}+12 \cdot x^{2} \)

Comments

vielen dank!

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Wie kommt man auf N? also wieso muss ich N einsetzen?

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Die allgemeine Linearfaktorform einer kubischen Parabel lautet:

f(x)=a*(x-N₁)*(x-N₂)*(x-N₃)  wobei N die Nullstellen sind.

Da nun ein Extremwert im Ursprung liegt, ist dort eine doppelte Nullstelle:

f(x)=a*x^2*(x-N)

Extremum bei x=2  führt zu

12a-4aN=0

a*(12-4N)=0|:a  wobei a≠0

12-4N=0

N=3   muss wegen  f(x)=a*x^2*(x-N) dort eingesetzt werden.