Biquadratische Gleichung lösen

Question

Aufgabe:

x^4-(5/2)*(s/b)*x^2+(s^2/b^2)=0

Problem/Ansatz:

Hi Leute,

ich versuche mich nun schon länger an der Aufgabe und komme leider nicht zu einem richtigen Ergebnis. Ich muss die obige Gleichung nach x auflösen und nach Wolfram-Alpha müsste ich folgende Ergebnisse bekommen:

sqrt(2s/b)

- sqrt(2s/b)

sqrt(s/2b)

-sqrt(s/2b)

Hab es auch schon mithilfe von Substitution probiert, aber bin leider nicht auf das Ergebnis gekommen.

Answer 1

Wenn du x²=z setzt, erhältst du z₁=\( \frac{s}{2b} \) und z₂=\( \frac{2s}{b} \).

Die Resubstitution führt dann zu den Lösungen von Wolframalpha.

Comments

Hast Recht. Hab einen dummen Fehler bei der PQ-Formel gemacht. Danke dir :)

Answer 2

substituieren ; x^2 =z

mit s/b= a

z^2- 5/2*a*z +a^2

pq-Formel:

5/4*a+-√(25/16a^2-a^2)

5/4*a+- √(9/16*a^2)

5/4*a +- 3/4*a

z1= 2a

z2= -a/2

-> x1= +- √(2a)

x^2 = +-√-a/2 , a<=0

Comments

Okay hat geklappt. Hatte einen dummen Fehler bei der Pq-Formel gemacht.

Danke Dir !

Answer 3

Weg ohne Substitution und mit quadratischer Ergänzung:
\( x^{4}-\left(\frac{5}{2}\right) \cdot\left(\frac{s}{b}\right) \cdot x^{2}+\left(\frac{s^{2}}{b^{2}}\right)=0 \)
\( \begin{array}{l} x^{4}-\frac{5 s}{2 b} \cdot x^{2}=-\frac{s^{2}}{b^{2}} \\ \left(x^{2}-\frac{5 s}{4 b}\right)^{2}=-\frac{s^{2}}{b^{2}}+\frac{25 s^{2}}{16 b^{2}}=\frac{9 s^{2}}{16 b^{2}} \mid \sqrt{ } \end{array} \)
1.) \( x^{2}-\frac{5 s}{4 b}=\frac{3 s}{4 b} \)
\( x^{2}=\frac{5 s}{4 b}+\frac{3 s}{4 b}=\frac{2 s}{b} \mid \sqrt{~} \)
\( \begin{array}{l} x_{1}=\sqrt{\frac{2 s}{b}} \\ x_{2}=-\sqrt{\frac{2 s}{b}} \end{array} \)
\( 2 .) x^{2}-\frac{5 s}{4 b}=-\frac{3 s}{4 b} \)
\( x^{2}=\frac{5 s}{4 b}-\frac{3 s}{4 b}=\frac{s}{2 b} \mid \sqrt{~} \)
\( \begin{array}{l} \hline S \end{array} \)
\( x_{4}=-\sqrt{\frac{s}{2 b}} \)
Mit \( s=1 \) und \( b=1 \)
\( f(x)=x^{4}-\left(\frac{5}{2}\right) \cdot x^{2}+1=0 \)