Wendepunkte, linksgekrümmt, rechtsgekrümmt

Question

3 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f. Geben Sie anschließend die Intervalle an, in denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist. Skizzieren Sie dann einen möglichen Graphen von f. a) \( f(x)=x^{4}+x^{2} \) b) \( f(x)=x^{4}-6 x^{2} \) c) \( f(x)=16 x^{4}-40 x^{2}+9 \) -d

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Wo ist dein Problem?

2. Ableitung Null setzen und Ergebnisse in die 3. Ableitung einsetzen, die ungleich Null sein sollte.

Zum Krümmungsverhalten:

https://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

Answer 1

a)

f(x) = x^4 + x^2
f'(x) = 4x^3 + 2x
f''(x) = 12x^2 + 2 > 0 → Der Graph ist überall linksgekrümmt

b)

f(x) = x^4 - 6x^2
f'(x) = 4x^3 - 12x
f''(x) = 12x^2 - 12 = 0 → x = ± 1 → Der Graph ist im Intervall [-1 ; 1] rechtsgekrümmt, ansonsten linksgekrümmt

Willst du c) zuerst mal alleine Probieren? Bestimme einfach nur die Nullstellen der 2. Ableitung.

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Tipp: Lass dir auch die Graphen z.B. mit Geogebra skizzieren. Dann solltest du auch näherungsweise sehen können, wo der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist.

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Guten Abend,

Ich danke Ihnen vielmals für ihre schneller Antwort, was man bei mir ja eher nicht sagen kann…

Wie auch immer, ich habe versucht die c) zu machen mithilfe der Vorgegebenen Aufgaben, aber ich habe es nicht hinbekommen. Ich verstehe leider gar nicht wie Sie das gemacht haben. Könnten Sie mir das bei der Aufgabe c) nochmal machen und eventuell ausführlich erklären?

Ich bedanke mich schon mal herzlich für Ihre Antwort.

LG Nathali

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f(x) = 16x^4 - 40x^2 + 9

Schaffst du es diese Funktion 2 mal abzuleiten? Probier nur mal. Wenn es nicht stimmt ist nicht so wild.

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Hier noch eine Skizze zu dem Funktionsgraphen

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Text erkannt:

c)
\( \begin{array}{l} f(x)=16 x^{4}-40 x^{2}+9 \\ f^{\prime}(x)=64 x^{3}-80 x \\ f^{\prime \prime}(x)=128 x^{2}-80 \end{array} \)

Ist das Richtig?

Aber wie kriegt man das Krümmmungsverhalten raus?

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Deine Ableitungen sind richtig.

Graphenkrümmung:

f''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I rechtsgekrümmt.

f''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I linksgekrümmt.

Wenndestellen sind Stellen, an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt.

Hilft dir das weiter?

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Erstmal die 2. Ableitung richtig bestimmen

f''(x) = 192·x^2 - 80

PS: Nutze Rechner wie Wolframalpha zur selbstkontrolle.

Wendepunkte f''(x) = 0

192·x^2 - 80 = 0 --> x = - √15/6 = - 0.6455 ∨ x = √15/6 = 0.6455

D.h. der Graph (siehe oben) ist

im Intervall (- ∞ ; - 0.6455] linksgekrümmt

im Intervall [- 0.6455 ; 0.6455] rechtsgekrümmt

im Intervall [0.6455 ; ∞) linksgekrümmt

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Ne ich habe das leider nicht verstanden, ist das jetzt für c)?

jetzt komm ich leider gar nicht mehr klar

Können Sie das vielleicht nochmal anders erklären? Vielleicht am Beispiel a) oder b)? Dann kann ich nochmal schauen, wies Sie das berechnen.

Liebe Grüße!

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Ja das wäre das Krümmungsverhalten für c. Was hast du denn daran nicht verstanden? Also wie man die Ableitungen bildet, kannst du ja eigentlich. Du hattest nur einen denkfehler gemacht.

Wie man die zweite Ableitung gleich null setzt und die quadratische Gleichung löst solltest du evtl. auch hinbekommen.

Wie gesagt wäre es hilfreich wenn ich weiß was du nicht verstanden hast.