Wisst Ihr, wie ich die erste Nullstelle rausbekommen kann?

Question

Aufgabe: Taschenrechner findet die Nullstelle nicht

Problem/Ansatz:

Wir haben die Funktion -x³+12x²+144x-297 bekommen und müssen die Nullstellen mit der Polynomdivision berechnen. Mit der Wertetabelle findet der Taschenrechner aber die erste Nullstelle gar nicht. Wisst ihr, wie ich die Erste Nullstelle rausbekommen kann?

Comments

Vorzeichen beim quadratischen Term

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Sollte es statt 297 vlt. 27 lauten? Tippfehler?

Dann ginge es:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+-x%C2%B3%2B12x%C2%B2%2B144x-27

Answer 1

Gast hj2166 hat schon vermutet das die Funktion evtl.

f(x) = - x^3 - 12·x^2 + 144·x - 297

lauten könnte. Man kann dann die Teiler von 297 durchprobieren. Eine Regel in der Schulmathematik besagt, dass die erste Nullstelle oft im Intervall von -3 bis 3 zu finden sein sollte, damit die Schüler nicht zu lange suchen.

Viele moderne Taschenrechner können aber inzwischen kubische Gleichungen direkt lösen. Also entfällt bei denen die diesen Taschenrechner haben und ihn benutzen dürfen das Raten mit einer kleinen Wertetabelle.

Da die meisten Taschenrechner inzwischen aber auch eine Wertetabelle machen können, empfehle ich oft auch das.

Bei obiger Funktion erkennt man dann eine Nullstelle bei x = 3 und würde damit eine Polynomdivision oder das Horner-Schema machen.

(- x^3 - 12·x^2 + 144·x - 297) / (x - 3) = - x^2 - 15·x + 99

Die restlichen 2 Nullstellen bekommt man über die pq-Formel bei x = - 15/2 ± 3/2·√69

Comments

- 12x^2
in der Aufgabe hieß es
+ 12 x^2

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- 12x2
in der Aufgabe hieß es
+ 12 x2

Ich habe geschrieben

Gast hj2166 hat schon vermutet das die Funktion evtl.

f(x) = - x^3 - 12·x^2 + 144·x - 297

lauten könnte.

Das macht meiner Meinung nach mehr Sinn, weil sonst eine Polynomdivision schwierig wird. Man könnte natürlich eine Polynomdivision mit Näherungswerten machen. Macht aber wenig Sinn meiner Meinung nach.

Answer 2

Hallo,

wenn ich mir die Nullstellen mit Geogebra anzeigen lasse, bezweifle ich, dass du mit der Poynomdivision weit kommst:

Das sieht eher nach einem Näherungsverfahren aus.

Gruß, Silvia

Answer 3

Als Kandidaten bieten sich die Teiler von 297 an. Bei dieser Funktion führt das aber nicht zum Erfolg, es sei denn, dir ist ein Vorzeichenfehler unterlaufen.

:-)

Answer 4

Weg über die quadratische Ergänzung:

- x^2 - 15·x + 99=0

x^2+15x=99

(x+\( \frac{15}{2} \))^2=99+\( \frac{225}{4} \) =\( \frac{621}{4} \)|\( \sqrt{} \)

\( 1 .) x+\frac{15}{2}=\sqrt{\frac{621}{4}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{621} \)
\( x_{1}=-\frac{15}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{621} \approx 4,96 \)
2. \( ) x+\frac{15}{2}=\sqrt{\frac{621}{4}}=-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{621} \)
\( x_{1}=-\frac{15}{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{621} \approx-19,96 \)