Finden Sie x (alle Variablen sind Restklassen ) in Z/11Z mit folgender Gleichung: 6 .

Question

Aufgabe: Finden Sie x  (alle Variablen sind Restklassen ) in Z/11Z mit folgender Gleichung: 6 . x = 2

Problem/Ansatz: Mein Lösung: Ich habe einen Repräsentanten in der Restklasse 2 gesucht der ein vielfaches von 6 ist, mit der Formel a = a + k.n , das ist 24, und somit die Lösung 6 . 4 = 2

Die Musterlösung hat auch 4 als Lösung, allerdings einen Ansatz der mir schwer verständlich ist:

Wir multiplizieren die Gleichung 6 . x = 2 mit dem in Z/11Z zu 6 inversen Element ( Was ist das inverse einer Restklasse ?)

Es 6 ^-1 = 2 , denn 6 *2 = 1, also x= 2 .2  = 4

Erste Frage, ist mein Rechenweg richtig oder nur purer Zufall

Zweite Frage, kann mir jemand den Rechenweg der Musterlösung erklären ?

Answer 1

Was ist das inverse einer Restklasse ?

Die Menge der Restklassen mod 11 bildet mit den üblichen Operationen einen Körper.

In jedem Körper gibt es zu jedem von 0 verschiedenen Element x ein Inverses, nämlich

dasjenige, das mit x multipliziert 1 ergibt. Diese Inversen in einem Körper sind eindeutig bestimmt.

Und in Z/11Z ist 2*6=1 also 2 das Inverse zu 6.

Wir multiplizieren die Gleichung 6 . x = 2 mit dem in Z/11Z zu 6 inversen Element .

Damit bekommst du x = 4 und kannst sicher sein, dass dies

die einzige Lösung deiner Gleichung ist.

Deine Methode ist auch OK, allerdings müsste dann die einschlägige

Theorie sicher stellen, dass es wirklich nur eine Lösung gibt.

Comments

Danke das habe ich nun geblickt.

Answer 2

Was ist das inverse einer Restklasse ?

Der Produkt einer Zahl mit der Inversen dieser Zahl ergibt 1 (das neutrale Element der Multiplikation).

Es gilt also

6 * 6^{-1} = 1 in Z/11Z

Da

6 * 2 = 12 = 1 mod 11

ist 2 das Inverse von 6 in der Resteklasse 11

Answer 3

x=2+11*n für alle ganzeZahlen