Aloha :)
Der Differenzenquotient zwischen den Punkten \((x_0|f(x_0))\) und \((x|f(x))\)$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$liefert die mittlere Steigung der Funktion zwischen den Stellen \(x_0\) und \(x\). Wenn du nun \(x\) auf \(x_0\) zulaufen lässt, indem du den Grenzwert \(x\to x_0\) bildest, bekommst du die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0\). Diese wird mit \(f'(x_0)\) bezeichnet:$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Das Problem ist nur, dass du nicht einfach für \(x\) den Wert von \(x_0\) einsetzen kannst, weil du dann durch \(0\) dividieren würdest. Daher setzen wir den Funktionsterm im Zähler ein und versuchen, den Nenner \((x-x_0)\) "irgendwie" zu kürzen.
Mit \(f(x)=x^2+2\) und \(x_0=2) erhalten wir konkret:$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x^2+2)-(x_0^2+2)}{x-x_0}\stackrel{(x_0=2)}{=}\lim\limits_{x\to2}\frac{(x^2+2)-(2^2+2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$$$$\phantom{f'(x_0)}=\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x+2)\cdot\cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=2+2=4$$
