Hallo :-)
Es geht mehr um das Faktorisieren (Ausklammern) von einem Term. Das Hübsche an faktorisierten Termen ist, dass man leichter erkennen kann, wann dieses Produkt Null wird: Wenn einer seiner Faktoren Null ist.
Also betrachte ich diesen Anastz: \(0=4p^2 - 8p^4q^2 - 16p^6\). Es ist
\(0=4p^2 - 8p^4q^2 - 16p^6=p^2(4 - 8p^2q^2 - 16p^4)\)
Damit Null herauskommt muss \(p^2=0\) oder \(4 - 8p^2q^2 - 16p^4=0\) gelten. Allerdings kann man den zweiten Term \(4 - 8p^2q^2 - 16p^4\) auch noch weiter faktorisieren. Ich löse nach \(p\) auf. Nämlich:
$$ \begin{aligned}0&=4 - 8p^2q^2 - 16p^4\quad |:(-16)\\0&=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}p^2q^2+p^4\\[15pt]&\text{Substituiere }w=p^2. \\[15pt]0&=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}q^2w+w^2\\[15pt]w_{1,2}&=-\frac{q^2}{4}\pm \sqrt{\frac{q^4}{16}+\frac{1}{4}}=-\frac{q^2}{4}\pm \sqrt{\frac{q^4+4}{16}}=-\frac{q^2}{4}\pm \frac{\sqrt{q^4+4}}{4}\end{aligned} $$
Also hat man:
$$ \begin{aligned}w_1&=-\frac{q^2}{4}+ \frac{\sqrt{q^4+4}}{4}\quad \Longrightarrow p_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{q^2}{4}+ \frac{\sqrt{q^4+4}}{4}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{-q^2+\sqrt{q^4+4}}\\[15pt] w_2&=-\frac{q^2}{4}- \frac{\sqrt{q^4+4}}{4}\quad \Longrightarrow p_{3,4}=\pm \sqrt{-\frac{q^2}{4}- \frac{\sqrt{q^4+4}}{4}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{-q^2-\sqrt{q^4+4}} \end{aligned}$$
Insgesamt hast du also diese Faktorisierung:
$$ 4p^2 - 8p^4q^2 - 16p^6=p^2(4 - 8p^2q^2 - 16p^4)\\=p^2\left(p-\frac{1}{2}\sqrt{-q^2+\sqrt{q^4+4}}\right)\left(p+\frac{1}{2}\sqrt{-q^2+\sqrt{q^4+4}}\right)\left(p-\frac{1}{2}\sqrt{-q^2-\sqrt{q^4+4}}\right)\left(p+\frac{1}{2}\sqrt{-q^2-\sqrt{q^4+4}}\right) $$
