Hallo,
\(\left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|<0,001 \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<0,001 \Rightarrow \lg \left(\frac{1}{2}\right)^{n}>\lg 0,001 \Rightarrow \)
das ist falsch, Hier darf das Vergleichzeichen (noch) nicht gedreht werden. Der Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion*). Er darf also in Ungleichungen verwendet werden und das Vergleichzeichen bleibt bestehen. Besser ist$$\begin{aligned} \left|7-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-7\right|&<0,001 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}&<0,001\\ \lg\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&<\lg 0,001 &&\,&\text{(3)}\\ n \cdot \lg\left(2^{-1}\right)&<\lg 0,001\\ n \cdot \left(-\lg\left(2\right)\right)&<\lg 0,001 &&|\,\div \left(-\lg\left(2\right)\right) &\text{(5)}\\ n &\gt \frac{\lg 0,001}{-\lg\left(2\right)} \approx +9,97 \end{aligned}$$(3) hier bleibt das \(<\) noch so wie es war!
(5) \(-\lg(2)\) ist ein negativer Wert. Bei der Division durch einen negativen Wert muss das Vergleichzeichen gedreht werden. Der Wert \(\lg0,001\) ist auch negativ, d.h. rechts steht ein positiver Ausdruck.
*) ich setze natürlich voraus, dass die verwendete Basis \(\gt 1\) ist! (s. Bem. von hj2166)
