Zu meiner Frage: Wie genau wird der Term im Zähler so faktorisiert?

Question

Aufgabe:

https://imgur.com/a/VDTTl74

b) $\frac{x^{2}-x-12}{x+3}=\frac{x^{2}-9-x-3}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)-(x+3)}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}=(x-3)-1 \Rightarrow$
$\begin{aligned} -7 &=-3-3-1=\lim \limits_{x \rightarrow-3} x-\lim \limits_{x \rightarrow-3} 3-\lim \limits_{x \rightarrow-3} 1=\lim \limits_{x \rightarrow-3}(x-3)-\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{x+3} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}-\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{x+3}=\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-x-12}{x+3} \end{aligned}$

Problem/Ansatz:

*Leider muss ich die Aufgabenstellung als Link geben, da mein Rechner kein Drag&Drop auf diese Textbox erlaubt*

Zu meiner Frage: Wie genau wird der Term im Zähler so faktorisiert??

Was sind die einzelnen Schritte ?

Vielen Dank!

Comments

Der Teil ab -7 muss wohl von rechts nach links gelesen werden.

Answer 1

Faktoriere mit dem Satz von Vieta

x² - x - 12 = (x + 3) * (x - 4)

Warum das mit quadratischer Ergänzung so umständlich gemacht wird verstehe ich nicht wirklich.

In diesem Fall fällt einem die Faktorzerlegung über Vita direkt in den Schoß.

Answer 2

1. -12= -3 - 9 Abspalten einer Quadratzahl

2. x²-9=(x+3)(x-3) dritte bin. Formel

3. $\frac{a-b}{c}$=$\frac{a}{c}$-$\frac{b}{c}$ Distributivgesetz

4. $\frac{dc}{c}$ = d und $\frac{c}{c}$=1 Kürzen

Answer 3

Hallo,

offensichtlich geht es um den Grenzwert des Bruches für x gegen -3.

Da sowohl der Wert des Zählers als auch des Nenners für x=-3 gleich Null ist, kann im Zähler der Faktor (x+3) ausgeklammert werden. Einfacher ist es, die Nullstellen des Zählers zu bestimmen und den Term dann mit Linearfaktoren zu schreiben.

x²-x-12=0

x=0,5±√(0,25+12)

x=0,5±3,5

x=-3 oder x=4

Also x²-x-12=(x+3)*(x-4)

$\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-x-12}{x+3}\\=\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{(x+3)(x-4)}{x+3}\\=\lim \limits_{x \rightarrow-3}(x-4)=-7$