Limesaufgabe: Stimmt limes ((tanx -cotx)/(sinx-cosx)) = ((4+2π)/π)/√2? x gegen π/4

Question

Lim ( x gegen pi durch 4)                               (tan x - cot(x)) durch ( sinx - cosx)

 

meine lösung war

(4+ 2pi) durch pi) durch (wurzel 2)

Answer 1

Leider ist deine Lösung nicht richtig.

So geht's:

$$\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { tan(x)-cot(x)\quad }{ sin(x)-cos(x) } }$$tan x und cot x durch die entsprechenden Ausdrücke mit sin x und cos x ersetzen:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \frac { sin(x) }{ cos(x) } -\frac { cos(x) }{ sin(x) } }{ sin(x)-cos(x) } }$$Die Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \frac { { sin }^{ 2 }(x)-{ cos }^{ 2 }(x) }{ sin(x)cos(x) } }{ sin(x)-cos(x) } }$$Den Zähler des Zählerbruchs gemäß dritter binomischer Formel als Produkt schreiben:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \frac { { { (sin }(x)+{ cos }(x))(sin }(x)-{ cos }(x)) }{ sin(x)cos(x) } }{ sin(x)-cos(x) } }$$und mit dem Nenner des Gesamtbruchs kürzen:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { { sin }(x)+{ cos }(x) }{ sin(x)cos(x) } }$$Nun ist das "Problem" im Nenner beseitigt, er hat nicht mehr den Wert 0 und man kann also einfach ausrechnen:$$=\frac { \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } +\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } }{ \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } } =\frac { 2*\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } } =4*\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } =\sqrt { 16 } *\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } }$$$$=\sqrt { 8 }$$$$=2\sqrt { 2 }$$

Comments

danke


aber warum kann ich tan x nicht einfach als 1 / x ableiten

so hatte ich es gemacht?