Leider ist deine Lösung nicht richtig.
So geht's:
$$\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { tan(x)-cot(x)\quad }{ sin(x)-cos(x) } }$$tan x und cot x durch die entsprechenden Ausdrücke mit sin x und cos x ersetzen:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \frac { sin(x) }{ cos(x) } -\frac { cos(x) }{ sin(x) } }{ sin(x)-cos(x) } }$$Die Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \frac { { sin }^{ 2 }(x)-{ cos }^{ 2 }(x) }{ sin(x)cos(x) } }{ sin(x)-cos(x) } }$$Den Zähler des Zählerbruchs gemäß dritter binomischer Formel als Produkt schreiben:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \frac { { { (sin }(x)+{ cos }(x))(sin }(x)-{ cos }(x)) }{ sin(x)cos(x) } }{ sin(x)-cos(x) } }$$und mit dem Nenner des Gesamtbruchs kürzen:$$=\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { { sin }(x)+{ cos }(x) }{ sin(x)cos(x) } }$$Nun ist das "Problem" im Nenner beseitigt, er hat nicht mehr den Wert 0 und man kann also einfach ausrechnen:$$=\frac { \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } +\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } }{ \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } } =\frac { 2*\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } } =4*\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } =\sqrt { 16 } *\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } }$$$$=\sqrt { 8 }$$$$=2\sqrt { 2 }$$
