Vektoren, Geraden, Parameter

Question

Beispiel 1 : Die Gerade g hat die Steigung k = 3 und verläuft durch den Punkt A = (4 | 2).
1) Ermittle eine Parameterdarstellung von g.
Die Gerade h steht normal auf g und verläuft durch den Punkt B = (−2 | 3).
2) Ermittle eine Parameterdarstellung von h.
3) Ermittle die Steigung von h.

Beispiel 2 : Für die Geraden g und h gilt:
g : X = ( −3/5)+t*(4/3)

und h: y = k · x − 2
1) Für welchen Wert k ∈ R sind g und h zueinander parallel?
2) Für welchen Wert k ∈ R schneiden g und h einander rechtwinkelig?

Danke im Voraus

Answer 1

Ich gebe keine Garantie für meine Antwort zum Beispiel 1 und 2:

1) Mit der Gerade in Parameterform kannst du so anfangen:

(4 I 2)+r*(x I y) , dann nimmst du den Startvektor (4 I 2) und einen beliebigen Punkt der Gerade (4+rx I 2+ry) und setzt die Steigung davon gleich 3 mithilfe der Diff.quotienten. Es gilt: 2+ry-2/4+rx-4= ry/rx= y/x und das muss 3 sein.

Das gilt z.B. für den Punkt (2I6), also hättest du bspw. hier die Gerade (4I2)+r(2I6) und die hat für alle r eine Steigung von 3 und trifft auch den Punkt A.

2) Du suchst einen Richtungsvektor, welcher orthogonal mit dem von g ist. Also ist der Skalarprodukt von dem Richtungsvektor von g (2I6) und einem beliebigen (aIb) gleich 0, also gilt 2a+6b=0. Das gilt bspw. für a=-6 und b=2. Also ist

h= (-2I3)+s*(-6I2)

3) Setze s=1 und bekomme (-8I5) und rechne die Steigung mit dem Diff.qoutienten von (-8I5) zum Startvektor (-2I3) und erhalte: 3-5/(-2-(-8))=-2/6= -1/3

Comments

Zum Beispiel 2:

finde eine Parameterdarstellung von h:

du hast (xIkx-2)=(xIkx)-(0I2)=(xIkx)+(0I-2)=(0I-2)+x(1Ik). Berechne nun k, indem gilt,

dass die Richtungsvektoren von g und h linear abhängig sind:

(1Ik)=r(4I3)

4r=1 , das bedeutet r=1/4 und das bedeutet k=3/4.

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Zum zweiten Teil rechnest du das Skalarprodukt von den Richtungsvektor von h und g

und setzt sie gleich 0:

1*4+3*k=0 , das gilt nur für k=-4/3

Answer 2

Die Gerade g hat die Steigung k = 3 und verläuft durch den Punkt A = (4 | 2).

1) Ermittle eine Parameterdarstellung von g.

g: X = [4, 2] + r * [1, 3]

Die Gerade h steht normal auf g und verläuft durch den Punkt B = (−2 | 3).

2) Ermittle eine Parameterdarstellung von h.

h: X = [-2, 3] + r * [3, -1]

3) Ermittle die Steigung von h.

m = -1/3

Comments

Beispiel 2 : Für die Geraden g und h gilt:

g : X = ( −3/5)+t*(4/3) und h: y = k · x − 2

1) Für welchen Wert k ∈ R sind g und h zueinander parallel?

k = 3/4

2) Für welchen Wert k ∈ R schneiden g und h einander rechtwinkelig?

k = -4/3