Wie lang ist die kurze Seite, wenn die Fläche möglichst groß sein soll? (Metallscheibe, Satz des Pythagoras)

Question

Aufgabe:

Eine Metallscheibe ist kreisrund und hat einen Durchmesser von d = 22cm. Aus dieser Scheibe soll ein Rechteck ausgeschnitten werden, dessen lange Seite 16 cm misst.

Wie lang ist die kurze Seite, wenn die Fläche möglichst groß sein soll?

Answer 1

wenn die Fläche [des Rechtecks] möglichst groß sein soll?

Dann liegen alle vier Ecken des Rechtecks auf dem Rand des Kreises.

Flächeninhalt des Rechtecks ist

(1)        \(A = a\cdot b\).

kreisrund und hat einen Durchmesser von d=22cm

Die Diagonale des Rechtecks ist so lang wie der Durchmesser des des Kreises. Pythagoras sagt dazu

(2)        \(a^2 + b^2 = 22^2\).

Nach \(b\) ausflösen und in (1) einsetzen ergibt

(3)        \(A = a\cdot \sqrt{22^2-a^2}\).

dessen lange Seite 16cm misst

(4)        \(a = 16\).

In (3) einsetzen.

Comments

Vielleicht habe ich da vorstellungsprobleme, aber das ist doch nicht wirklich eine Optimierungsaufgabe, oder?

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Aus dieser Scheibe soll ein Rechteck ausgeschnitten werden,dessen lange Seite 16cm misst.

Eine Möglichkeit wäre, die kürzere Seite einen Zentimeter lang zu machen.

wenn die Fläche möglichst groß sein soll?

In dem Sinne ist mein obiger Vorschlag, die kürzere Seite einen Zentimeter lang zu machen, nicht optimal.

Bezeichnet man das Rechteck mit der größten Fläche als optimal, dann ist es eine Optimierungsaufgabe.