x-Achse Tangenten, die orthogonal zueinander sind?

Question

Aufgabe:

Auf einem Aufgabenblat steht folgende Aufgabe:

Für welche t ELEMENT VON  R hast das Schaubild in den Schnittpunkten mit der
x-Achse Tangenten, die orthogonal zueinander sind?
f(x) = x^2 - 4tx + 3t^2

Problem/Ansatz:

Nun verstehe ich nicht wie ich mit der zweiten Variable t in meiner Funktion die Nullstellen bestimmen kann. PQ-Formel geht ja nicht oder?. Es wäre super lieb,wenn mir jemand erklären könnte wie ich trotz der Variable auf das richtige Ergebnis komme.

Answer 1

PQ-Formel geht ja nicht oder?.

ABER SICHER!

Es ist p=-4t und q=3t². Wende die pq-Formel damit an!

Comments

Aber dann steht doch unter der Wurzel 2t-3t^2 und das kann ich ja nicht mehr weiter vereinfachen oder?

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Aber dann steht doch unter der Wurzel 2t-3t^2

Wie kommst du auf den Unfug?

Unter der Wurzel steht (2t)²-3t^2.

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Danke, ich stand voll auf dem Schlauch

Answer 2

Oder benutze Vieta, indem du \(3t^2=\textcolor{blue}{3t}\cdot \textcolor{red}{t}\) und \(-4t=-(\textcolor{blue}{3t}+\textcolor{red}{t})\) erkennst.

Answer 3

f(x) = x^2 - 4tx + 3t^2
quadratische Ergänzung
f(x) = x^2 - 4tx + (2t)^2 - (2t)^2+ 3t^2
f ( x ) = ( x - 2t)^2 - t^2

Schnittpunkt mit der x-Achse
( x - 2t)^2 - t^2 = 0

x = t
und
x = 3*t

Steigung an den Schnittpunkten
f ´( x ) = 2x - 4t

f ´( t ) = 2t - 4t = -2t
f ´( 3t ) = 6t - 4t =  2t

Orthogonal
-2t = - 1 / ( 2t)
2t = 1/(2t)
4t = 1
t = 1/4

Bitte nachprüfen.
Bei Fragen wieder melden.

Comments

Könnten Sie mir auch erklären wie man es mit der PQ-Formel macht ? :)

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x^2 + py + q = 0
f(x) = x^2 - 4tx + 3t^2
p = -4t
q = 3t^2

pq Formel
-p/2 ± √ [ (p/2)^2 - q ]
-(-4t)/2 ± √ [ (-4t/2)^2 - 3t^2 ]
2t ± √ [ (16t^2/4) - 3t^2 ]
2t ± √ [ t^2 )
2t ± t
x = t
x = 3t

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Bei der Orthogonalität
meine ich jetzt doch etwas anderes
Steigungswinkel = 45 ° und -45°
2t = tan(45)
t = 1/2
und
t = -1/2

Ist aber alles auf die Schnelle
berechnet.
Also bitte nachprüfen

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@georgborn: \(2t=\frac{1}{2t}\Rightarrow 4t^2=1\), also \(t=\pm \frac{1}{2}\)

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Hallo ermanus,
steht bei mir doch auch.
Wolltest du meine Antwort bestätigen ?

mfg Georg

Kalenderspruch des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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Hallo Georg,

ich hatte erst nur bei dir den Wert 1/4 gesehen und wollte dich nur auf das

zunächst nicht vorhandene Quadrat hinweisen. Die neue Version

ist natürlich untadelig ;-)

LG ermanus

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Alles ok.

Allgemein
Es ist noch niemand durch ein langes Berufsleben gegangen dem nicht auch
einmal ein Fehler unterlaufen wäre.

Du nicht, ich nicht und auch sonst keiner.

Aus der Rubik kurz und knackig :

" Warum beantworten Sie Fragen immer
mit Gegenfragen ? "
" Warum nicht ? "

Answer 4

1. Schnittpunkte mit der x_Achse: \(x^2-4t+3t^2=0\Rightarrow x=2t\pm \sqrt{4t^2-3t^2}\iff x_1=t;x_2=3t\)

2. Steigungen in den Schnittpunkten: \(f'(x)=2x-4t\Rightarrow f'(1)=-2t;f'(3)=2t\)

3. Othogonaltätsbedingung : \(f'(1)\cdot f'(3)=-1\iff -2t\cdot 2t=-1\iff t^2=-\frac{1}{4}\iff t=\pm \frac{1}{2}\)

Comments

1. Schnittpunkte mit der x_Achse: \( x_1=t;x_2=3t\)

Falsch. Punkte besitzen eine x- und eine y-Koordinate. Du hast NULLSTELLEN genannt.

\(f'(x)=2x-4t\Rightarrow f'(1)=-2t;f'(3)=2t\)

Falsch. Richtig ist \( f'(t)=-2t;f'(3t)=2t\)

Der Rest stimmt wieder.