Berechnen Sie aus dem bekannten Grenzwert der Folge (1+ 1/n)^n den Grenzwert der Folge cn = (n/n+1)^3n

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie aus dem bekannten Grenzwert der Folge (1+\( \frac{1}{n} \))ⁿ den Grenzwert der Folge c_n = (\( \frac{n}{n+1} \))³ⁿ für n ∈ N.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre folgender:

Erst einmal umstellen:

c_n = (\( \frac{n}{n+1} \))³ⁿ = (\( \frac{n+1}{n} \))^-3n = (\( \frac{n+1}{n+1-1} \))^-3n = (\( \frac{n+1}{n+1} \) + \( \frac{1}{n+1-1} \))^-3n = (1+ \( \frac{1}{n} \))^-3n   

Nun geht es weiter mit dem Grenzwert..

c = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1+ \( \frac{1}{n} \))^-3n  = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^(3n)} \) =  \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{\frac{1}{(1+\frac{1}{n})}}{(1+\frac{1}{n})^(3n-1)} \)

Ist dies bis hier hin richtig? Wie mache ich weiter? Vielen Dank.

Anmerkung: Leider habe ich die Exponenten im Bruch nicht so schön darstellen können, ich denke aber es wird klar.

Answer 1

Wie wäre es mit \(((1+\frac{1}{n} )^n)^{-3}\)?

Answer 2

(\( \frac{n+1}{n+1-1} \))^-3n = (\( \frac{n+1}{n+1} \) + \( \frac{1}{n+1-1} \))^-3n

Ich habe keine Ahnung, was das passiert ist.

        \(\left(\frac{n+1}{n+1-1}\right)^{-3n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-3n}=\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^{-3n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-3n}\)

Nun geht es weiter mit dem Grenzwert..

        \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-3n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{-3}=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{-3}\)

Comments

Danke! Doch einfacher als gedacht.. ich hätte eine ähnliche Aufgabe, den Grenzwert von (1+ \( \frac{1}{n^2} \))ⁿ zu bestimmen. Wie wird man da das n² los?

Answer 3

\((1+\frac{1}{n})^{-3n}=\frac{1}{((1+\frac{1}{n})^n)^3}\rightarrow \frac{1}{e^3}\)

Comments

Vielen Dank!