Mengen Problem. Data Science Studium

Question

Aufgabe:

Sei X eine Menge und seien A,B ⊆ X. Sei A ∆ B := (A U B) \ (A ∩ B) = (A \ B) U (B \ A) die symmetrische Differenz von A und B. Zeigen Sie:

a) (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

b) (A ∆ B) ∩ C = (A ∩ C) ∆ (B ∩ C)

Hinweis: Es gilt A \ B = (A ∩ B)^c ∩ A

Problem/Ansatz:

Ich verstehe irgendwie nicht wie ich da vorgehen könnte.

Answer 1

Du wendest zunächst die Definition an:

(A ∆ B) ∆ C

=  ( (A \ B) U (B \ A) ) ∆ C

Das ist ja nun auch die sym. Differenz
zweier Mengen, also wieder die Definition

=  (( (A \ B) U (B \ A) ) \ C ) ∪ ( C \  ( (A \ B) U (B \ A) )   )   *

Mit der rechten Seite genauso:

A ∆ (B ∆ C)

= A ∆ ( (B\C) ∪ C\B )

= ( A \  ( (B\C) ∪ C\B )) ∪  ( (B\C) ∪ C\B )  \ A  )      **

Jetzt musst du (z.B. mit schon bewiesenen Gesetzen über ∪ und \ )

begründen, warum * und ** die gleiche Menge beschreiben.

z.B. hattet ihr vielleicht

(X∪Y) \ Z = (X\Z) ∪(Y\Z)

Das kannst du bei * anwenden und hast

(( (A \ B) U (B \ A) ) \ C ) ∪ ( C \  ( (A \ B) U (B \ A) )  ) 

=  (     ( (A \ B)\C ) U ((B \ A)\C ))    )  ∪ ( C \  ( (A \ B) U (B \ A) )  )

weitere findest du bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten