Teilmengen bestimmen, Funktionen

Question

Sei X eine Menge. Wir definieren für eine beliebige Teilmenge A ⊂ X die charakteristische Funktion.

1_A : X → {0, 1}, 1_A(x) := { 1 für x∈A und 0 für x∈X/A.

Zeigen Sie, dass die Funktionen

(a) X → {0, 1}, x → 1 − 1_A(x),
(b) X → {0, 1}, x → 1_A(x)1_B(x), und
(c) X → {0, 1}, x → 1_A(x) + 1_B(x) − 1_A(x)1_B(x),
für beliebige Teilmengen A, B ⊂ X ebenfalls charakteristische Funktionen sind, und bestimmen Sie die
zugehörigen Teilmengen.

Danke im Voraus

Comments

Hast du denn selbst schon z.B. (a) durchdacht?

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Wollte fragen, ob dieser Ansatz stimmt :

(b)  X → {0, 1}, x → 1A(x)1B(x)

1A : X → {0, 1}, 1A(x) := { 1 für x∈A und 0 für x∈X/A.

1B : X → {0, 1}, 1B(x) := { 0 für x∈B und 1 für x∈X/B.

A, B ⊂ X

Es heißt ja dass A die Teilmenge von X ist und den Wert 1 hat, dann muss B den Wert 0 haben, weil es auch die Teilmenge von X ist.

1A(x) hat den Wert 0 und 1B(x) hat den Wert 1 und somit muss gelten, dass 1A(x)1B(x)= 1*0 = 0 sein muss.

Für x∈X/B hat 1B(x) den Wert 1 und somit ist 1A(x)1B(x)= 1*1 = 1

Also ist 1A(x)1B(x) die charakteristische Funktion für die Menge x∈X/B

Würde mich auf einen Kommentar freuen.

Danke im Voraus

Answer 1

(a) X → {0, 1}, x → 1 − 1_A(x),

1_A(x) hat ja den Wert 1 für x∈A , also

hat 1 − 1A(x), dann den Wert 0

und

für x ∈ X\A hat 1_A(x) den Wert 0 und

somit hat 1 − 1_A(x) dann den Wert 1.

Also ist  1 − 1_A(x) die

charakteristische Funktion

für die Menge X\A.

Entsprechend ist es bei b) die von A∩B

und bei c) für A∪B.