Aussagenlogik - Zeigen, dass mindestens eine der drei Aussagen falsch ist

Question

Aufgabe:

Polizist Müller verhört 3 Tatverdächtige: A, B und C. Sie geben folgende Aussagen ab:

A: B war an der Tat beteiligt, aber C war nicht an der Tat beteiligt

B: Nur einer von den anderen beiden, A oder C war an der Tat beteiligt

C: Ich war es nicht und A war es auch nicht

Ich muss zeigen, dass mindestens einer der drei eine falsche Aussage gemacht hat.

Problem/Ansatz:

Ich tu mich mit Aussagenlogik immer schwer und habe keinen Plan.

Wie könnte man am besten vorgehen? Mit einer vollständigen Wahrheitstabelle??

A	B	C	F1 := B ∧ ¬C	F2 := A ∨ C	F3 := ¬C ∧ ¬A
0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	0
1	1	1	0	1	0

Ist die korrekt? Wie kann ich die falsche Aussage finden?

Comments

Ich nehme an, bei euch steht 1 für wahr und 0 für falsch? Oder anders herum?

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Genau 1 für wahr und 0 für falsch.

Ich glaube B ist der Lügner, kann das sein?

Also das habe ich aus dem Kontext herausgelesen, aber ich kann es in der Wahrheitstabelle nicht ablesen.

C hat sich und A ausgeschlossen

A sagt, B war es und C nicht

Also kann man C ausschließen

B sagt, dass entweder A oder C beteiligt ist, aber C ist ja ausgeschlossen und A auch (weil C gesagt hat, dass A es nicht war)

Deswegen kam ich zum Entschluss, dass es B ist.

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A: B war an der Tat beteiligt, aber C war nicht an der Tat beteiligt

B ∧ C müsste B ∧ ¬C heißen. Ist aber nur ein Tippfehler, da die Spalte sonst stimmt.

B: Nur einer von den anderen beiden, A oder C war an der Tat beteiligt

Hier ist aber auch ein logischer Fehler enthalten. Es war entweder A oder C beteiligt. Nicht beide gleichzeitig.

Das heißt du müsstest hier F2 ≡ (A ∨ C) ∧ ¬(A ∧ C) betrachten.

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Du schaust dir jetzt dann F1 ∧ F2 ∧ F3 an. Wenn alle drei in einer bestimmten Konstellation die Wahrheit sagen würden, müsste diese Aussage in der zu dieser Konstellation gehörenden Zeile wahr sein. Das ist aber nirgends der Fall, d.h. ¬(F1 ∧ F2 ∧ F3 ) ist eine Tautologie und somit lügt stets irgendjemand. Die Aufgabe verlangt nicht zu ermitteln, wer genau lügt.

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Ich weiß nicht genau, was euer Lehrer erwartet, aber wenn es erlaubt ist, würde ich an die jeweiligen Behauptungen eine Schlussfolgerung anhängen und dann dementsprechend überprüfen, ob die Aussagen wahr sind oder nicht.

Answer 1

B und C widersprechen sich.

C sagt, A und C waren es beide nicht.

B sagt, einer von A und C war es.

F2=¬F3

:-)