Vektorraum der reellen rechten oberen Dreiecksmatrizen. Eigenwerte/-räume, Basis... usw.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien der Vektorraum \( V \) der reellen rechten oberen Dreiecksmatrizen

\( V=\left\{\left[\begin{array}{rr} a_{1} & a_{2} \\ 0 & a_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)

die lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \), sowie die folgenden Bilder von \( L \) :

\( L\left(\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 0 & -6 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} 0 & -6 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \)

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung \( L \)
Hinweis: Sie können diesen Teil durch scharfes Hinsehen und geschicktes Argumentieren lösen! Gelingt Ihnen dies nicht, so bearbeiten Sie zunächst die Aufgabenteile b)-d).

b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}} \) von \( L \) bzgl. der Basis

\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\} \)

c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von \( L \).

d) Ist \( L \) eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung?

Comments

Das mit dem "scharfen Hinsehen" hat sich nun geklärt, ich habe als Eigenwerte -3, 2 und 0 erhalten.

Ich weiß nun dennoch nicht so recht, wie ich damit weiterrechnen soll :/

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Ich kenn das nur mit einer Matrix, aber wie geht das hier genau ? Sorry bin etwas verwirrt.

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Ich dachte du hättest hier zwei Matrizen gegeben? Sollte dem nicht so sein, solltest du versuchen die Angabe vollständig und korrekt wiederzugegeben. Eine Abbildung ist hier weit und breit nicht zu sehen, es fehlt insbesondere an Quelle und Ziel.

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Gegeben seien der Vektorraum V der reellen rechten oberen Dreiecksmatrizen

V= ⟨(a1   a2       ∈R^2x2 Ι a1,a2,a3 ∈R ⟩ ,

        0     a3 )

die lineare Abbildung L: V -> V, sowie das folgende Bild von L:

 

L (( 0   -1     =  (  0     3

     0    0 ))          0     0 )

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Sorry wenn ich das so hart ausdrücke: Das ist nach wie vor nicht die vollständige Angabe und die Tatsache, dass du das nicht merkst zeigt, dass du extremste Probleme mit den grundlegendsten Definitionen hast. Hier gilt es massivst nachzuarbeiten. Es ist vollkommen unklar was z.B. L(E) sein soll (E die Einheitsmatrix). Da V ein 3-dimensionaler Vektorraum kann L durch die Bilder von 3 Elementen beschrieben werden, dann wenn diese 3 Elemente eine Basis bilden.