Zeigen Sie, dass f stetig sind.

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cll} \frac{2\left(x_{1}^{2} x_{2}+\sqrt{\left.x_{1}^{2}\left|x_{2}\right|\right)}\right.}{x_{1}^{2}+\left|x_{2}\right|} & , & \left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , & \left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)

(i) Sei \( x^{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) beliebig, aber fest. Die Funktionen \( f_{x_{1}^{0}}, f_{x_{2}^{0}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch \( f_{x_{2}^{0}}\left(x_{1}\right):=f\left(x_{1}, x_{2}^{0}\right) \) bzw. \( f_{x_{1}^{0}}\left(x_{2}\right):=f\left(x_{1}^{0}, x_{2}\right) . \) Zeigen Sie, dass \( f_{x_{1}^{0}} \) und \( f_{x_{2}^{0}} \) stetig sind.

(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass Funktionen stetig sind

Stichworte: stetigkeit,stetig

Text erkannt:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2\left(x_{1}^{2} x_{2}+\sqrt{\left.x_{1}^{2}\left|x_{2}\right|\right)}\right.}{x_{1}^{2}+\left|x_{2}\right|} & , \quad\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , \quad\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)
(i) Sei \( x^{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) beliebig, aber fest. Die Funktionen \( f_{x_{1}^{0}}, f_{x_{2}^{0}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch \( f_{x_{2}^{0}}\left(x_{1}\right):=f\left(x_{1}, x_{2}^{0}\right) \) bzw. \( f_{x_{1}^{0}}\left(x_{2}\right):=f\left(x_{1}^{0}, x_{2}\right) \). Zeigen Sie, dass \( f_{x_{1}^{0}} \) und \( f_{x_{2}^{0}} \) stetig sind.
(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig ist.

Answer 1

Hello

zur (i) : Wenn einer der beiden Variablen fest ist, dann kann der Nenner nicht mehr gegen 0 laufen sondern gegen die festgehaltene Variable, der Zähler läuft aber auf jeden Fall gegen 0 also auch insgesamt für jede beliebige Nullfolge konvergiert die Funktion gegen 0

zur (ii): bastell dir eine Folgen xn=(an,bn) die gegen 0 konvergieren aber der Grenzwert, wenn du die Folgen in die Funktion einsetzt, nicht gegen 0 konvergiert

Comments

Hallo,

ich habe auch das gleiche Problem und kann es leider trotzdem nicht genau lösen. Gibt es ein Lösungsweg, um das nachvollziehen zu können.

Danke im Voraus

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Werde ich nachher hochladen :)

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Das wäre sehr nett von Ihnen..!

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Hello, hier einmal wie man das ungefähr machen würde.

bei der (i) müsstest du das noch natürlich analog für die andere Funktion zeigen

bei der (ii) ist die hoffentlich klar warum man das so macht? Ansonsten frag nochmal.

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Hallo,

danke für den Lösungsweg bisher.. ich habe auch mit der Aufgabe Probleme.

Wäre es möglich die komplette Lösung zu lösen ? Sobald ich die komplette Lösung habe, bringe ich mir dann die Aufgaben selber bei.

Sie bekommen eine positive Bewertung von mir

Danke im Voraus

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Das ist doch so gut wie die ganze Aufgabe