Aufgabe:
1) Sei f: ℝ>0 → ℝ>0 mit f(x) = xn für ein n ∈ ℕ>0. Zeigen Sie, dass f eine differenziertere Umkehrfunktion g besitzt (ohne explizite Berechnung der Umkehrfunktion).
2) Berechnen Sie für n = 3 die Ableitung von g an der Stelle 8 aus der Ableitung von f mittels Ableitungsregel für die Umkehrfunktion.
Problem/Ansatz:
1) Als erstes würde ich mich auf die Aussage beziehen wollen, dass eine Umkehrfunktion existiert, wenn die Ableitung der Funktion f(x) (streng) monoton steigend/fallend ist, also f'(x) > 0 oder f'(x) < 0 gilt.
Berechnen wir nun f'(x) erhalten wir f'(x) = n*xn-1 und da n > 0 ist, ist f'(x) > 0 für jedes n.
2) Für den zweiten Teil würde ich nun die Umkehrfunktion von f(x) = x3 bestimmen und y = 8 einsetzen:
f(x) = x3
f'(x) = 3x2
y = \( \sqrt[3]{x} \)
Es folgt f-1(y) = \( \frac{1}{f'(x)} \) = \( \frac{1}{f'(f-1(y))} \) = \( \frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2} \)
Nun setzen wir y = 8 ein: \( \frac{1}{3(\sqrt[3]{8})^2} \) = \( \frac{1}{12} \)
