Umkehrfunktion f(x) = xn und Ableitungsregel der Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

1) Sei f: ℝ^>0 → ℝ^>0 mit f(x) = xⁿ für ein n ∈ ℕ>0. Zeigen Sie, dass f eine differenziertere Umkehrfunktion g besitzt (ohne explizite Berechnung der Umkehrfunktion).

2) Berechnen Sie für n = 3 die Ableitung von g an der Stelle 8 aus der Ableitung von f mittels Ableitungsregel für die Umkehrfunktion.

Problem/Ansatz:

1) Als erstes würde ich mich auf die Aussage beziehen wollen, dass eine Umkehrfunktion existiert, wenn die Ableitung der Funktion f(x) (streng) monoton steigend/fallend ist, also f'(x) > 0 oder f'(x) < 0 gilt.

Berechnen wir nun f'(x) erhalten wir f'(x) = n*x^n-1 und da n > 0 ist, ist f'(x) > 0 für jedes n.

2) Für den zweiten Teil würde ich nun die Umkehrfunktion von f(x) = x³ bestimmen und y = 8 einsetzen:

f(x) = x³

f'(x) = 3x²

y = $\sqrt[3]{x}$

Es folgt f^-1(y) = $\frac{1}{f'(x)}$ = $\frac{1}{f'(f-1(y))}$ = $\frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2}$

Nun setzen wir y = 8 ein: $\frac{1}{3(\sqrt[3]{8})^2}$ = $\frac{1}{12}$