Wenn eine Quadratzahl a² gerade ist, dann ist auch die Zahl a gerade.

Question

in die eine Richtung hab ich es glaub ich verstanden. Wenn a gerade, dann ist auch a² gerade. Aber warum gilt das auch umgekehrt? D.h. wenn a² gerade warum dann auch a gerade?

Danke

Comments

Diese Frage kam vor Kurzem schon mal.

Während du auf die Antwort wartest, kannst du versuchen die Frage über die Suche zu finden.

Wäre nett, wenn du dann den Link im Kommentar anfügen könntest. Danke.

Gefundene Frage passt nicht ganz: https://www.mathelounge.de/95/warum-ergibt-eine-gerade-zahl-quadriert-auch-eine-gerade-zahl

Dort sind wohl Frage und Titel vertauscht. Die Antwort bezieht sich wohl auf den Titel, nicht auf die Frage.

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Zur Information, die gleiche Frage tauchte später noch einmal auf: Falls n² gerade ist, dann ist auch n gerade.

Answer 1

Voraussetzung a² gerade. Annahme a ungerade.

Beweis durch Widerspruch:

a und a² lassen sich eindeutig als Produkt von Primfaktoren darstellen.

Jede Zahl, die gerade ist (egal, ob Quadratzahl oder nicht) enthält mindestens einen Faktor 2.

Also 

a² = 2 * p₁ * p₂ … p_n        Hier mindestens 1 Faktor 2

a =  q₁ * q₂ * .....* q_m               Hier kein Primfaktor 2. Nun quadrieren wir a

a² =  q₁² * q₂² * .....* q_m²        und setzen die beiden a² gleich

a² = 2 * p₁ * p₂ … p_n = q₁² * q₂² * .....* q_m²           

So erhalten wir zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen von a² .      Eine mit einem Faktor 2 und eine ohne. Das ist ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. q.e.d.

Die Annahme war also falsch. Deshalb muss a gerade sein.   

Comments

 

den o.g. Link hatte ich schon gefunden.Mich würde also interessieren ob man aus

WENN a gerade ist (a = 2*k) und man a quadriert gilt:
a² = (2*k)²
a² = 2*2*k*k
a² = 2*(2k²)

 

Genau auch den Umkehrschluss herleiten kann. Also ob man den Beweis in dieser Art auch so umgekehrt führen kann. Ala

 

WENN a² gerade ist, d.h. a² = 2 * k ... dann ist auch a geraden.

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Ja genau: WENN a² gerade ist, d.h. a² = 2 * k ... dann ist auch a gerade.

 

Das habe ich oben indirekt bewiesen.

Indem ich gezeigt habe, wie sich aus 

 

 a² ist gerade und a ist ungerade

ein Widerspruch konstruieren lässt.

Nun gilt also zwingend: Wenn a² gerade, dann a gerade. 

 

Wenn du da direkt vorgehen willst, musst du vermutlich unterwegs noch zeigen, dass die Wurzel von 2 irrational ist.

Im o.g. Link ist die Logik folgende: Alle geraden Zahlen haben gerade Quadratzahlen und Alle ungeraden Zahlen haben ungerade Quadratzahlen.

Deshalb ist es klar, dass eine gerade Quadratzahl nicht das Quadrat einer ungeraden Zahl sein kann. Resultat: Die gerade Quadratzahl muss das Quadrat einer geraden Zahl sein.

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Wenn du da direkt vorgehen willst, musst du vermutlich unterwegs noch zeigen, dass die Wurzel von 2 irrational ist.

sorry, daß ich das Thema nochmal aufgreife, aber wird hier (Behauptung √2 ist irrational) nicht die von dir bewiesene Behauptung benötigt? Hab's grade gelesen und dort wird unter anderem benutzt, daß wenn bei √2 = p/q (p,q ∈ ℕ) p² gerade ist dann auch p gerade ist.

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mE benutzte ich damals in der Antwort "nur" die "Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung." Verwendest du das nicht auch, wenn du 2 ausklammerst?

Frage ist halt immer, was man voraussetzen darf / soll.

Nur nochmals zur Behauptung, die gezeigt werden sollte:

Aber warum gilt das auch umgekehrt? D.h. wenn a² gerade warum dann auch a gerade?

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Hallo Lu, ich bin auf Mathelounge gestoßen da ich mir selber die gleiche Frage wie der TE gestellt habe nachdem ich mir in einem Analysis Buch für Anfänger (:-)) den Beweis für die Irrationalität von √2 angesehen hatte. Dort kam ganz nebenbei die Aussage, "da p² gerade ist ist dann auch p gerade" ohne, daß es irgendwo im Buch bewiesen worden wäre - dachte, weil's vielleicht trivial wäre - (ansonsten super der Wälzer, meistens werden noch viel einfachere Aussagen begründet). Nachdem ich deinen Beweis und diverse Wikiartikel gelesen hatte kam ich dann zu meiner Variante. Im Grunde ist's ja auch trivial - man muss nur drauf kommen :D

Answer 2

Weil das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade ist.

Eine ungerade Zahl können wir darstellen als:

$$2n+1,n \in \mathbb{N}_0$$

Damit gilt

$$(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1=2(2k^2+2k) + 1$$

und das Quadrat einer ungeraden Zahl hat somit wieder die Form

$$2n+1 \text{ mit } n = 2k^2+2k$$

Somit muss a gerade sein, wenn a² auch gerade ist.

Answer 3

ich würde so antworten:

Behauptung lautet p² = 2x mit x ∈ ℕ => p gerade

Beweis durch Widerspruch:

sei p ungerade, also p = (2y+1) mit y ∈ ℕ

=> p * p = (2y+1)(2y+1) = 2x

<=> 4y² + 4y + 1 = 2x

da 4y² + 4y wegen 4y² = 2*(2y²) und 4y = 2*2y gerade ist und außerdem 2x gerade ist steht links eine ungerade Zahl und rechts eine gerade, was im Widerspruch zur Behauptung steht.