Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Deine Überlegungen sind korrekt, aber bei der Durchführung hast du dich vertan. Du kannst nicht einfach den Vektor von der Matrix subtrahieren, das wäre die Subtraktion einer \(3\times1\)-Matrix von einer \(3\times3\)-Matrix. Die ist jedoch nicht definiert. Der "Trick" ist hier, dass du eine Einheitsmatrix einbaust. Die Multiplikation eines Vektors \(\vec x\) mit einer Einheitsmatrix \(\mathbf E\) lässt den Vektor ungeändert, also \(\mathbf E\cdot\vec x=\vec x\).
Ich mache diesen Schritt mal ganz ausführlich:
$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+2\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left[\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)\right]\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1\\4 & 5 & 2\\1 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist eine Gerade:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\\7\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$Es gibt also unendliche viele Lösungen für diese Gleichung.
