Bruchgleichung Lösung und Definitionsbereich

Question

Aufgabe:

(x²-1)/(x+2) = (-x+1)/(x+2)

Definitionsbereich: x≠-2

Problem/Ansatz:

Die lösung soll laut behauptung -2 sein, welche antwort ist jetzt richtig?:

1:Falsch, da x²-1 ≠ -x+1 für x=-2

2: Falsch, da die Bruchterme für x=-2 nicht definiert sind.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bruchgleichung definitionsbereich antworten?

Stichworte: bruchgleichung,gleichungen

Aufgabe:

(x²-1)/(x+2) = (-x+1)/(x+2)

Definitionsbereich: x≠-2

Problem/Ansatz:

Die lösung soll laut behauptung -2 sein, welche antwort ist jetzt richtig?:

1:Falsch, da x²-1 ≠ -x+1 für x=-2

2: Falsch, da die Bruchterme für x=-2 nicht definiert sind.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da die Funktionsterme links und rechts des Gleichheitszeichens für $x=-2$ nicht definiert sind, scheidet $x=-2$ als Lösung aus. Im Folgenden sei daher $x\ne-2$ angenommen:

$$\left.\frac{x^2-1}{x+2}=\frac{-x+1}{x+2}\quad\right|\cdot(x+2)$$$$\left.x^2-1=-x+1\quad\right|+x-1$$$$\left.x^2+x-2=0\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$\left.(x+2)(x-1)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$\cancel{x=-2}\quad\lor\quad x=1$$Die Lösung $x=-2$ scheidet aus, bleibt als Lösung $x=1$ übrig.

Comments

Danke für die Antwort

jedoch bleibt bei mir die Frage wie oben gestellt ob frage 1 oder 2 richtig ist ?

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Achso, das hatte ich doch oben geschrieben:

(2) ist es: "Die Bruchterme sind für $x=-2$ nicht definiert."

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Oh vielen Dank :)

Answer 2

Hallo,

(x²-1)/(x+2) = (-x+1)/(x+2)     |*(x+2)

(x+1)*(x-1)=-(x-1)       |+(x-1)

(x+2)*(x-1)=0

x=-2    oder x=1

-2∉D

--> L={1}

Comments

Danke für die Antwort

jedoch bleibt bei mir die Frage wie oben gestellt ob frage 1 oder 2 richtig ist ?

Answer 3

(x² - 1)/(x + 2) = (-x + 1)/(x + 2)

für x ≠ -2 müssen doch nur die Zähler gleich sein

x² - 1 = -x + 1

x² + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

x = - 2 oder x = 1

x = -2 ist nicht im Definitionsbereich, daher ist die einzige Lösung x = 1

Answer 4

Du musst nur die Zähler gleichsetzen (Zählervergleich):

x²-1 = -x+1

x²+x-2 = 0

Vieta:

(x+2)(x-1)= 0

x=-2 entfällt, weil nicht im Definitionsbereich

x=1 -> L= {1}