Aloha :)
Gegeben:\(\quad f:\;A\to B\quad;\quad g:\;B\to C\quad;\quad h:\,A\to C\,,\,h(x)=g(\,f(x)\,)\)
zu a) Injektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.$$h(x_1)=h(x_2)\implies g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\text{ ist injektiv}}{\implies}f(x_1)=f(x_2)\stackrel{f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2$$Das heißt im Umkehrschluss:$$x_1\ne x_2\implies h(x_1)\ne h(x_2)$$
Wenn also \(f\) und \(g\) injektiv sind, ist auch die Verkettung \(h=g\circ f\) injektiv.
zu b) Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Wähle ein \(c\in C\) beliebig, aber fest. Da \(g\) surjektiv ist, gibt es ein \(b\in B\) mit \(c=g(b)\). Da \(f\) ebenfalls surjektiv ist, gibt es ein \(a\in A\) mit \(b=f(a)\). Für das gewählte \(c\) gibt es also ein \(a\) mit \(c=g(f(a))=h(a)\). Da \(c\) beliebig gewählt werden kann, gilt also:$$\forall c\in C:\;\exists a\in A:\;c=(g\circ f)(a)=h(a)$$Wenn also \(f\) und \(g\) surjektiv sind, ist auch die Verkettung \(h=g\circ f\) surjektiv.
zu c) Aus der Injektivität von \(h=g\circ f\) folgt die Injektivität von \(g\), denn:$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\circ f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2\implies f(x_1)=f(x_2)$$
Die zweite Aussage bezüglich der Surjektivität gilt nicht. Hier ein Gegenbeispiel:
$$f\colon\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\}\;,\;f(x)=x$$$$g\colon\{1,2,3,4\}\to\{1\}\;,\;g(x)=1$$
Die Funktion \(f\) ist nicht surjektiv, weil das Ziel \(4\) aus der Zielmenge nicht getroffen wird. Die Funktion \(g\) ist sicher surjektiv, weil das eine Element aus der Zielmenge von jedem Element der Definitionsmenge getroffen wird.
Die Verkettung:$$(g\circ f)\colon\{1,2,3\}\to\{1\}\;,\;g(f(x))=1$$ist auch surjektiv, weil das einzige Zielelement \(1\) von jedem Element der Definitionsmenge getroffen wrid.
