Immer mit expliziten Gegenbeispielen arbeiten:
d) f(a+b) = (a+b) + 1 = a+b+1
f(a) + f(b) = (a + 1) + (b+1) = a+b+2
Da gilt nie Gleichheit man findet also relativ leicht ein explizites Gegenbeispiel:
f(1+2) = (1+2) + 1 =4
f(1) + f(2) = 1+1 + 2+1 = 5
Somit f(1+2)≠f(1) + f(2) => kein Gruppenhom.
c) \( f(a+b) = (a+b)^2 +1 = a^2 + 2ab + b^2 + 1 \)
\( f(a)\cdot f(b) = (a^2 +1)(b^2 +1) = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \)
Wird wohl i.allg. nicht gleich sein, jetzt wieder ein explizites Gegenbeispiel suchen:
\( f(1+3) = (1+3)^2 + 1 = 16+1 = 17 \)
\( f(1) \cdot f(3) = (1^2+1)(3^2+1) = 2 \cdot 10 = 20 \)
Wenn man hier nur \( f(a+b) \neq f(a) \cdot f(b) \) hinschreiben würde, wäre das falsch. Für a=1, b=2 gilt nämlich z.B. Gleichheit. Deshalb lässt man sich bei sowas auf keinerlei Spielchen ein und schreibt IMMER ein explizites Gegenbeispiel hin.
Bei a) und b) gehst du ähnlich vor
a) f(a*b) = 2(a*b) = 2*a*b
f(a)*f(b) = (2*a) * (2*b) = 4*a*b
Hier wird i.allg. auch keine Gleichheit gelten. Such also ein Gegenbeispiel.
b) f(a+b) = 2(a+b) = 2a+2b
f(a) + f(b) = (2a) + (2b) = 2a+2b
Hier gilt Gleichheit, also ist es ein Gruppenhom.
