Wie muss man a wählen damit die Polynomdivision ohne Rest aufgeht?

Question

\( \left(x^{3}-x^{2}-2 x+a\right):(x-1) \)

Wie muss man a wählen damit die polynomdivision ohne rest aufgeht? Ich habe es versucht aber komme nicht durch kann mir wer ein richtigen Rechenweg zeigen?

(x3 + 5x2 - 4x + ) : (x -1) = x2+6x+2 + (2)/(x-1)

-(x3-x2)
-(6x2-6x)
-(2x-2)
R: 2

Comments

\(\left(x^{3}-x^{2}-2 x+a\right):(x-1)\)
(...)
(x3 + 5x2 - 4x + ) : (x -1) = x2+6x+2 + (2)/(x-1)

Das passt beides nicht zusammen. Bitte überprüfen und korrigieren!

---

Hallo Leonie,

sollen das zwei Aufgaben sein?

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst im Zähler nur geschickt auszuklammern, dann siehst du es sofort:

$$\frac{x^3-x^2-2x+a}{x-1}=\frac{\overbrace{x^2\cdot(x-1)}^{=x^3-x^2}\,\overbrace{-2\cdot\left(x-\frac a2\right)}^{=-2x+a}}{x-1}\stackrel{(a=2)}{=}\frac{x^2\cdot\cancel{(x-1)}-2\cdot\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}}$$Wenn \(a=2\) ist, steht im Zähler bei beiden Summanden der Faktor \((x-1)\), sodass du kürzen kannst.

Answer 2

Die \(1\) muss eine Nullstelle von \(x^{3}-x^{2}-2 x+a\) sein.

Das heißt es muss

        \(1^3 - 1^2 - 2\cdot 1 + a = 0\)

sein.

Answer 3

Ich habe rechnen lassen
divide (x^3 - x^2 - 2*x,x-1)
x^2 - 2 Rest -2 / ( x -1 )

dann habe ich

( x^2 - 2 ) * (x-1) berechnet
x^3 - x^2 - 2*x + 2
da steht es auch schon
a = +2

oder einfacher
-2 / (x-1) * ( x-1 ) = -2
also +2 hinzuaddieren
x^3 - x^2 - 2*x + 2

Answer 4

(x3 + 5x2 - 4x + ? ) : (x -1) = x^2+irgendwas ohne den Summanden mit dem Bruch

Es muss gelten

(x3 + 5x2 - 4x + ? ) = (x -1) * (x^2 + irgendwas ohne den Summanden mit dem Bruch )

Zur Kontrolle deines Resultats kannst du das Produkt rechts ausmultiplizieren. Es interessiert dann aber nur ein Summand des Resultats, also nur ein Summand aus " irgendwas ohne den Summanden mit dem Bruch" muss mit (-1) multipliziert werden. Welcher? Und weshalb ist man mit oswalds Antwort viel schneller?

Answer 5

\(\left(x^{3}-x^{2}-2 x+a\right):(x-1) \)

Da x=1 eine Nullstelle des Zählerpolynoms sein soll, muss die Summe der Koeffizienten gleich Null sein.

1-1-2+a=0 → a=2

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\(\left(x^{3}+5x^{2}-4x+a\right):(x-1) \)

1+5-4+a=0 → a=-2

:-)

Zu deiner Rechnung:

(x3 + 5x2 - 4x + a) : (x -1) = x2+6x+2 + (a+2)/(x-1)

-(x3-x2)

-------------

     6x2-4x

   -(6x2-6x)

   -------------

             2x+a

            -(2x-2)

            -------------

                    a+2

a+2=0 → a=-2

Du hattest nur vergessen, das a herunterzuziehen.