Äquivalenzrelation, Primzahlpotenz, Partition

Question

Aufgabe:

Auf der Menge A = {2, ..., 10} sei die folgende Relation ∼ gegeben:
x ∼ y ⇔ (x = y) oder (x · y ist eine Primzahlpotenz)
(Eine Primzahlpotenz ist eine Zahl n = p^k mit p Primzahl und k ∈ N).

Man zeige,dass ∼ eine Aquivalenzrelation auf A ist und gebe die durch ∼ erzeugte Partition A/∼ von A an.
A/∼ von A an.

Problem/Ansatz:

ich komme nicht so ganz klar mit der Frage, brauche bitte eine Lösung dafür

Comments

Für alle x ist x~x, da x=x

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Ist x~y so gilt x=y oder xy PZP

Falls x=y ist auch y=x und somit y~x

Falls xy PZP ist auch yx PZP und somit y~x

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Sei x~y und y~z

Falls x=y, y=z ist x=z also x~z

Falls x=y und yz PZP ist xz=yz PZP somit x~z

Falls xy PZP und y=z ist xz=xy PZP und folglich x~z

Einzig halbwegs interessanter Fall:

Falls xy PZP und yz PZP, dann ist auch xz eine PZP (nachdenken und begründen!)

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Reflexivität, Symmetrie, Transitivität => Äq.rel.

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2=2, 2×4=2^3, 2×8=2^4 => Äqklasse {2,4,8}

3=3, 3×9=3^3 => Äqklasse {3,9}

Weitere Relationen gibt es auf {2,...,10} nicht

Also sind die restlichen Äqklassen {5}, {6}, {7}, {10}

Answer 1

Der Kommentar von MatHaeMatician ist die vollständige Antwort

lul