Wie arbeite ich mit einer Funktion die eine momentane Änderungsrate darstellt?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 7
In einer Tasse ist Kaffee mit der Anfangstemperatur von 90◦C. Die Zimmertemperatur ̈
beträgt 20◦C. Die momentane Anderungsrate der Temperatur des Kaffes (in ◦C pro Minute) wird bechrieben durch
g(t) = −8, 4e ^−0,12t (t in Minuten).
a) Wieso hat g keine Nullstelle? Begründen Sie, dass die Funktion g streng monoton wächst. Was bedeutet dies für den Abkühlungsvorgang?
Nun sei eine weitere Funktion G(t) = 70e^−0,12t + 20 gegeben.
b) Zeigen Sie, dass G die Temperatur des Kaffees zum Zeitpunkt t beschreibt.
c) Wie lange dauert es, bis der Kaffee auf die Hälfte der Anfangstemperatur abgekühlt ist?

Problem/Ansatz:

Hi das ist noch eine Aufgabe aus meiner Probeklausur die unmöglich zu lösen scheint, das einzigste was logisch und verständlich ist, ist das g keine Nullstelle hat weil selbst wenn die Tasse von 90Grad abkühlt wird die Tasse nie aud 0Grad fallen da die Raumtemperatur 20Grad beträgt

Auch scheine ich zu glauben warum die Funktion streng monoton wächst, da die Tasse jede Minute mit der gleichen Rate abkühlt und somit Anfangs schneller fällt und dem ende hin langsamer ?

Aber so ganz sicher bin ich mir auch nicht

Wie kann ich solche Aufgaben lösen in der die momentane Änderungsrate als Funktion gegeben ist und ich dann damit "jonglieren" muss ?

Comments

g(t) = −8, 4e−0,12t

Das ist unverständlich.

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tut mir leid, wurde korrigiert :) und danke für den Hinweis

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(ausversehen hier gepostet)

Answer 1

In einer Tasse ist Kaffee mit der Anfangstemperatur
von 90◦C. Die Zimmertemperatur ̈
beträgt 20◦C. Die momentane Anderungsrate der Temperatur des Kaffes (in ◦C pro Minute) wird bechrieben durch
g(t) = −8,4 * e ^ (−0,12t)
a) Wieso hat g keine Nullstelle?
g ist eine e-Funktion. Diese hat keine Nullstelle.

Begründen Sie, dass die Funktion g streng
monoton wächst.
g(t) = −8,4 * e ^ (−0,12t)
g ´( t ) = -8.4 * e ^ (−0,12t)  * -0.12
g ´( t ) = 1.008 * e ^ (−0,12t) 
Montonie von g´ positiv ?
1.008 * e ^ (−0,12t)   > 0 ?
e ^ (−0,12t) ist stets > 0
Das Produkt auch.
g´ ist positiv im gesamten Bereich
Also ist g stets steigend.

Was bedeutet dies für den Abkühlungsvorgang?
Die Abkühlung erfolgt immer schneller.
( muß ich nochmals überdenken !!! )

Nun sei eine weitere Funktion G(t) = 70e−0,12t + 20 gegeben.
b) Zeigen Sie, dass G die Temperatur des Kaffees zum Zeitpunkt t beschreibt.
Durch geschieht am einfachsten durch die Ableitung
von G ( t )
G (t ) = 70 * e^(−0,12t) + 20
G(t) ´= 70 * e^(-0.12t ) * -0.12
G(t) ´= 8.4 * e^(-0.12t ) = g(t)
g ( t ) hat die Einheit C° / min
G (t) hat aufgelitten von g die Einheit C °

c) Wie lange dauert es, bis der Kaffee auf die
Hälfte der Anfangstemperatur abgekühlt ist?

Temperatur halbe ist 90 / 2 = 45 °
G (t ) = 70 * e^(−0,12t) + 20 = 45
t = 8.58 min

Comments

Was bedeutet dies für den Abkühlungsvorgang?
Die Abkühlung erfolgt immer schneller.

So ein Unfug!!!!

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Ein paar Sachen muß ich nochmals überdenken.
mfg Georg

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Ist es nicht umgekehrt ? der abkühlungsvorgang erfolgt immer langsamer ?

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Was bedeutet dies für den Abkühlungsvorgang?

Die Werte von g(t) sind negativ; das bedeutet, dass die Temperatur abnimmt.

Der Graph von g(t) verläuft unterhalb der waagerechten Achse und nähert sich dieser asymptotisch von unten. Die Absolutbeträge von g(t) werden immer kleiner, die Abkühlung wird langsamer.

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Korrektur
Was bedeutet dies für den Abkühlungs-
vorgang?
Abkühlungsrate zu Anfang
g ( 0 ) = -8.4 ° / min
lim t -> ∞ = 0 ° / min
Der Kaffee kühlt immer langsamer ab.

Answer 2

b) Zeigen Sie, dass G die Temperatur des Kaffees zum Zeitpunkt t beschreibt.

Zeige

        \(G'(t) = g(t)\)

und

        \(\lim\limits_{t\to\infty} G(t) = 20\).

c) Wie lange dauert es, bis der Kaffee auf die Hälfte der Anfangstemperatur abgekühlt ist?

Löse die Gleichung

        \(G(t) = 45\)

und weise deinen Lehrer darauf hin, dass °C keine Verhältnisskala ist.

Comments

Ich versteh das leider gar nicht bzw. kann mir keinen Reim daraus machen, aber danke trotzdem vielmals :)

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Möchtest du warten bis jemand dir die Aufgabe vorrechnet oder hast du konkrete Fragen zu meiner Antwort?

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Was ist den g(t) ganz genau ? also ich verstehe nur das minus am anfang der funktion was für "fallend" steht, aber was ist mit dem Rest ?

Und habe ich das richtig verstanden ? die erste Funktion steht für die momentane Änderungsrate und die zweite gegebene steht für die Temperatur zur einem bestimmten Zeitpunkt t ?

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\(e^t\): Exponentialfunktion mit Basis \(e\approx 2,718281828\). Du solltest wissen wie der Graph dieser Funktion verläuft. Falls nicht, GeoGebra. Die Funktion ist monoton wachsend.

\(e^{-t}\): Spiegelt an der \(y\)-Achse. Deshalb monoton fallend. Das hängt auch mit der Definition Potenzen mit negativen Exponenten zusammen: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).

\(e^{-0,12t}\): Streckt in \(x\)-Richtung. Also immer noch monoton fallend.

\(-e^{-0,12t}\): Spiegelt an der \(x\)-Achse. Deshalb wieder monoton steigend.

\(-8{,}4e^{-0,12t}\): Streckt in \(y\)-Richtung.

Insbesondere steht das Minus am Anfgang nicht für fallend, sondern für Spiegelung an der \(x\)-Achse.

die erste Funktion steht für die momentane Änderungsrate und die zweite gegebene steht für die Temperatur zur einem bestimmten Zeitpunkt t ?

Ja.

Answer 3

Hallo,

g(t) ist die erste Ableitung von G(t).

Ein einfacheres Beispiel:

Die Geschwindigkeit v(t) ist die momentane Änderungsrate des zurückgelegten Weges s(t).

Also ist v(t) die erste Ableitung des Weges s(t).