Wie rechnet man diese Summe aus

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=n}^{2n}({2k-1}) \)

Problem/Ansatz:

… wie löse ich diese aufgäbe ?

Answer 1

\(\begin{aligned}&\sum\limits_{k=n}^{2n}(2k-1) \\=\ & \sum\limits_{k=n}^{2n}2k - \sum\limits_{k=n}^{2n}1 \\=\ & 2\sum\limits_{k=n}^{2n}k - \sum\limits_{k=n}^{2n}1 \\=\ & 2\sum\limits_{k=1}^{2n}k - 2\sum\limits_{k=1}^{n-1}k - \sum\limits_{k=n}^{2n}1\end{aligned}\)

Answer 2

Aloha :)

Die Summe der ersten \(n\) ungeraden Zahlen ist \(n^2\):$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=\underbrace{\underbrace{\underbrace{1+3}_{=4}+5}_{=9}+7}_{=16}+\cdots+(2n-1)=n^2$$Ich denke, dass du das im Unterricht hattest. Damit kannst du die Summe wie folgt berechnen:$$\sum\limits_{k=n}^{2n}(2k-1)=\sum\limits_{k=1}^{2n}(2k-1)-\sum\limits_{k=1}^{n-1}(2k-1)=(2n)^2-(n-1)^2=4n^2-(n^2-2n+1)$$$$\sum\limits_{k=n}^{2n}(2k-1)=3n^2+2n-1$$